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AABCにおいて, AB=3, AC=1, ZBAC=0 (0"<0<90) と し、
辺AB上にAD=1となる点Dをとる。辺AC(端点A, Cを含む)上に
条件:DP=-BC
(*)キキ
を満たす点Pをとる。条件(*) を満たす点Pが2つ存在するようなcos0 の
とる得る値の範囲を求めよ。
直人くんと未帆さんは, この【課題】について会話している。
直:AB:AD=3:1 だから, Dを通り, BCに平行な直線とACとの交点は,(*)を
満たす点Pになるのはわかる。 これ以外に,もう1個のPがあるのか。図を描いて調
べよう。
未:まず,Dを通り BCに平行な直線とACとの交点をP。とするよ。そして, Dを中心と
して半径が DP。の円 Kを描き,円 Kが辺ACと P。以外の点で交わるようにすれば
よいから…,図をデフォルメして描くからね。
(未帆さんのノート)
(I図)
(I図)
DP。
直:(a)(図I)のPと P。が一致するときは,円KがACに接するのか。
と
下線部(a)が成り立つとき, △ABCはアになる。このときの cos0 の値は-
4
である。ただし,
アには次のO~②のうちから当てはまるものを1つ選べ。
0 正三角形
① 二等辺三角形
直角三角形
未:二等辺三角形 DP,P の底辺P.Pの中点をMとすると,cos0 が図形的に見えるね。
そうすると, APの長さが計算できるのかな。
直:APは cos0で表せるね。(図Ⅱ)を見ると, Pの存在条件は0SAP<AP。となるから,
cos0 の不等式ができるよ。
未:これで, cosé の値の範囲が求められるね。明日答え合わせしよう!
2人の会話をもとにして考えると
AP= エ|cos0
キ
Acos0<-
と
となる。
以下は,次の日の2人の会話である。
未:cose の値の範囲を求めて気付いたの。
0は変化しているって!
昨日の図は先入親で描いていた。
もう1つの図をスケッチしてきたよ。
直:この場合もあるんだ。 PP。の中点をMとして
MP。に注意すれば,(図IⅡ)と同様の計算になる。
ただ,この図ではPの存在条件がかわるね。
円K-
dk
ー(未帆さんのスケッチ)
(未帆さんのスケッチ)と直人くんの発言を参考にして, 次の間に答えよ。
この場合では,
「と
の……
4
となる。
-Sosoo>
サシ
である。
0が①またはのを満たして変化するとき, △ABCの面積の最大値は
と
