(1)《OAction 余りに関する証明は, 余りによる分類(剰余類)を利用せよ」
(2) 1, m, nを自然数とする。 +m° =D n" ならばし, mのうち少なくと
例題242 ピタゴラス数の証明
例題2。
とを示せ。
。nを自然数とする。 『十m*=" ならば1, mのうちか
3つ
結論
めよ
も1つは2の倍数であることを証明せよ。
具
p
(2)条件の言い換え
(ア) 1だけが2の倍数
(イ) mだけが2の倍数
(ウ) 1, mともに2の倍数
3つの場合があり
証明しにくい
結論
Action》「少なくとも~」 の証明は, 背理法を利用せよ
開(1) 自然数aは2で割った余りに注目すると, 2b, 2p-1
(かは自然数)のいずれかで表すことができる。
(ア) a= 2b のとき
4で割ったときの余りで
分類してもよいが,2で
割ったときの余りで場
分けして考えても,うま
く4でくくることができ
例題
240
解
a° = (2p)° = 4が
かは自然数であるから, がは整数である。
よって, α° を4で割った余りは0である。
(イ)a=2b-1 のとき
る。
= (2p-1)? = 4(がーカ)+1
かは自然数であるから, がーかは整数である。
よって,' を4で割った余りは1である。
(ア), (イ)より, α'を4で割ったときの余りは0か1である。
(2) 1, mがともに2の倍数でないと仮定すると,
(1)()より,?, m' はともに4で割ったときの余りが1
である。
よって,左辺の+ m' を4で割った余りは2である。
ところが,(1)より,右辺の nパを4で割った余りは0ま
たは1である。
ゆえに,?+m° =" であることに矛盾する。
したがって,1, m, nが自然数のとき,パ+m'=n°
ならば,1, mのうち少なくとも1つは2の倍数である。
*2の倍数でないから、1
m はともに奇数である。
H+8=を満た相
然数 a, 6, c の組をビタ
ゴラス数という。
2つの整数『+m' (4で
割った余りが2)とが
(4で割った余りが0かり
が一致することはない。
SNロPK
思考のプロセス
解説ありがとうございます🙇♀️
2p+1ではなく2p-1となるのは何故ですか？
また4で割った余りを聞かれてるのに2で考えるのは何故ですか？？
お返事貰えたら嬉しいです。