Question

マティー

【至急、お願いします！】
任意の x∈X に対して、写像 f : {x}→Y by f(x,y)=y が位相同型写像になることの証明ってどうすればいいですか？

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

哲治

問題文がよくわからないからテキスト全文見せてくれませんか？

マティー

この問題の(3)です

哲治

gx(x,y)=yは(x,y)→yという対応であり、xはXから任意にとってきた単一元なので単射。yを全体動かせば全単射となる。
ゆえに逆写像が存在する。
O(Y)⊃Uとなるopen setを取ってくる。
それをg^(-1)×で送った像は{×}×U ⊂{x}×Yゆえに連続写像
みたいな流れになります。
位相空間論は得意ではないから模範解答は書けません。

哲治

同相写像を示すには逆写像が連続を示す必要あります。
全単射は自明ですが、連続まで示す必要ありますので。

マティー

ありがとうございます。
参考にして考えてみます。