基本 例題69 平面に下ろした垂線 (1)
空間において,3点 A(5, 0, 1), B(4, 2, 0), C(0, 1, 5)を頂点とする三角形
ABC がある。原点O(0, 0, 0) から平面 ABC に垂線を下ろし,平面 ABC との
の。
/0x
487
から、
基本 67
(重要71」
占Hは平面 ABC上にあり,かつ, 直線 OH は平面 ABC に垂直である
ととらえて考える。
直線 OH は平面 ABC に垂直であるから, 直線 OH は平面 ABC
0
2章
上のすべての直線と垂直である。
OHIAB, OH IAC
OH-AB=0, OH·AC=0
9
よって
H
B。
ゆえに
C
解答
AB=(-1, 2, -1), AC=(-5, 1, 4)-0×8+(
の点Hは平面 ABC上にあるから,AH=sAB+tAC (s. tは実
数)(*)とおける。
C
形
OH=OA+AH
=OA+sAB+tAC
ゆえに
0LH
A。
B
=(5-s-5t, 2s+t, 1-s+4t)
…… 00)
OH」AB, OHIAC
I OHI(平面 ABC)であるから
OH」AB から
OH·AB=0
OH=1OA+mOB+nOC,
+m+n=1として考えても
よって
ー(5-s-5t)+2(2s+t)-(1-s+4t)=0
よい。
ゆえに
2s+t=2 (2)
OH」AC から
OH·AC=0
よって
-5(5-s-5t)+1·(2s+t)+4(1-s+4¢)=0
S+14t=7 3
4
ゆえに
の平
08 OAS
7
2, 0を解いて = t=。
9'
9
よって, ① から
H(2, 2, 2)
0)
KE
O
?点A(1
0.2), B(2, 1, 0), C(1, 6, -1) を考
調くクトミベクトルJ図
A(5,0,1) B(4,2c0)CCo.l.5) HCKH2)
AB-
ニ0
A.
2.o
こ0
こ0
Oよ(、(-1,2.-1)- (オる。と)こ0
ーズキ29 -2 =0
のよ(、(-5, 1,4 ) . (不4っる)20
~58+4+48 =0.②'
のより、(-4.11,5).(×8,2)こo
-4xー4+58=0
Y= 24-を
○(-イ代ス
ー5(24-2)+y+48-0
-?9+98 =0
に代ス
-4(24-8)-458=0
4=0
2=0
(0,0.0)
