Question

ぷりん🍮

正の整数は自然数のことであると今調べて分かったのですがこの問題は文中には正の整数と書いてあるのに答えの最後ですべての自然数とか書き換えられています。すべての自然数と書き換えなければいけないのでしょうか？

する。このとき, すべての正の整数nに対して次の不等式が成り立つことを数
数列 {an} を a=1, az=1, an=Qn-2tan-1 (n33, 4, 5, ……)で定義
l
399
する。このとき,すべての正の整数nに対して次の不等式が成り立つことを
学的帰納法を用いて証明せよ。
7n
an
[12 兵庫県大)

399 4,<
n
のが成り立つことを数
学的帰納法を用いて証明する。
[1] n=1, 2のとき
1<(2)
7
7\2
a1=1<
4
の=
4
よって,O は成り立つ。
[2] n=k, k+1のとき, ① が成り立つと仮定
すると 4,<(). 4<()
7\を
7を+1
ap+1<
n=k+2 のときを考えると
7\を
ag+2=Qktaを+1<
7\&+1
4
4
7
7\ 11
7
1+
4
ニ
4
4
-(3)-から ()
11
44
72
49
72
ニー
4-
16?
4
16
4
4
したがって
7\k
ak+2<
7/7\2
7\&+2
ニ
4
よって, n=k+2のときも①は成り立つ。
[1], [2] から, ①はすべての自然数 nについて成
り立つ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

零

高校数学において、「正の整数」と「自然数」はまったく同じ意味なので、書き換えても大丈夫ですが、わさわざ書き換える必要はありません。

ぷりん🍮

そうなのですね！
ありがとうございます！
疑問の方は解決したのですが高校数学ではというのが少し気になりました。大学数学だともっと細かな定義になるのですか？

零

実は、自然数の定義には2つの流儀があります。
①1,2,3,…を自然数とする。
②0,1,2,3,…を自然数とする。
高校数学では自然数の定義として①を採用していますが、大学以降の数学では②を採用する場合があります。②の定義だと、自然数(0,1,2,…)と正の整数(1,2,3,…)は同じ意味にはなりません。

ぷりん🍮

0も自然数に入ってしまうのですか！？
中学生の時に0は入らないからね！とすごく念押しされたのに笑
新たなことを知れてよかったです！
追加の疑問にも答えてくださりありがとうございました！