Question

ひなた

(x^2-x-1)^5の展開式におけるx^7の係数を求めよ。

よろしくお願いします。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

名前なににしyo

二項定理より、
一般項は、
　5！/(p！q！r！)・(x^2)^p・(-x)^q・(-1)^r
= 5！/(p！q！r！)・(-1)^(q+r)・x^(2p+q)

　(p、q、rは整数、0≦p、q、r≦5、p+q+r=5)

x^(2p+q)=x^7 より、
　　2p+q=7
　　　　q=7-2p
ゆえに、
　
0≦7-2p≦5
1≦p≦7/2 より

p=1、2、3

(i)p=1のとき、q=5

　これは、p+q+r=5を満たさないから不適

(i i)p=2のとき、q=3、r=0
　係数は
　5！/(2！3！0！)・(-1)^(3+0)=-10

(i i i)p=3のとき、q=1、r=1
　係数は
　5！(3！1！1！)・(-1)^(1+1)=20

よって、(i)〜(iii)より、x^7の係数は

-10+20=10