Question

寧々

共通接線の問題です。解いたのですが、答えが片方しか出ません。解答は、共有点Pのx座標をtとおき、x=tにおいてy座標と接線の傾きがそれぞれ等しいことから連立方程式を立ててa=-2,2でP(1,-2),P(-1,-2)です。私の求め方の間違いを教えてほしいです。

2つの曲線 y=x?-3, y=_ が共有点Pをもち, 点Pにおいて共通の接
a
x
線をもつとき、定数aの値を求めよ。 また, 共有点Pの座標を求めよ。
P( 3.8ニ8)とおく
Y 2
Yを -Aを2
Ye15の)+45(8-s)
y-(sg)。各1a分)
Y.-*+合+sい。
もる 。
= 29
-s-3= 冷+3-タ
s35- a+ -3
- 253 35-a+3=0
-an osより
ー2-35+284 3.-0
ーのニ四
-38+3 = 0
-3S=-3
S=/
の-2
19
よって
ト--21
P(1--2)

微分法 接線

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

零

計算ミスがひとつあります。sとaが求まっているように見えますが、本当はこの連立方程式からは求められません。
☓-s³-3s=a+s³-3
○-s³-3s=a+s³-3s
※右辺最終項の-3にsをかけ忘れている

それは些末なミスですが、根本的な間違いは立式にあります。
Pが共有点であるという条件が式に反映されていないことです。
あるx座標において接線の傾きが等しくなるという条件だけが式になっているので、接線の傾きが等しくなるようなx座標とaの関係についてしかわからないのです。
P(s,s²-3)とおいたとき、情報として反映されるのはPがy=x²-3の点であることです。
y-(s²-3)=2s(x-3)
これはy=x²-3の接線を表します。ですが、
y-(s²-3)=(-a/s²)(x-3) ⋯(*)
これはy=x²-3上の点Pを通り、x=sでのy=a/xの接線と傾きが等しい直線を表します。この時点ではx=sでPがy=a/x上にあるかどうかについて何も条件を課していないので、x=sでPがy=a/x上にない可能性があります。したがって、(*)がy=a/xの接線とならない可能性があります。
Pがy=a/xとの共有点であるという条件を追加しない限り、(*)はy=a/xの接線にならないのです。
これが間違いの原因です。

寧々

立式から違ってたんですね…教えてくださってありがとうございました。確かにPがy=a/xの条件を忘れていました。これからはしっかり式の意味を考えるようにします。

寧々

いつも丁寧に教えてくださって助かってます🙇‍♀️

Answer 2

名前なににしyo

そもそも、連立方程式を作りたいのであれば、x座標だけを文字でおいて、y座標はその式に代入という形で求めます。つまり、y=a/xのy座標は、s^2-3ではなく、
y=a/sにしたほうが良いかと。

名前なににしyo

ちなみに、連立方程式を立てた、2つ目の式のs倍の作業ですが、-3がS倍されていませんでした。そのため、本来であれば0=0と打ち消しあってしまい、答えすら出ていません。

寧々

答えすら出てなかったんですね笑
とても恥ずかしいです。教えてくださってありがとうございました。