Question

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88(1)
平均値の定理について
答えを見たら理解できた(おそらく)
解答170ページの4行目までは平均値の定理のシナリオなので理解できました。
ただ、1<x<=2とする発想がなく
自分はxなどを用いず1、2を平均値の式に代入しました
(Xが出てこないため何も意味を持たない式が出た)
しかし、5行目の式変形は答えを見たら確かにと理解できた。だけど答えを見るまでは思いつかなかった。
これは4行目の数式f’(c)を用いることにより
f(x),xの不等式を作ることができるからしているんですよね？
どうやったらこの解答みたいなものを初見で解くことができますか？
また平均値の定理を用いるという発想は
複雑な関数を不等式で挟むというという所から来ていますか？

1+c
したがって, ①が成り立つ。
1+c
よって
(1+0
1+αa-b
<e
EX
ex
関数f(x)=log- を用いて, α = 2, an+1=f(an) によって数列{az}が与えられている。 ただし,
④88
x
対数は自然対数である。
[大分大]
(1)1≦x≦2のとき,f(x)-11/12 (x-1)が成立することを示せ。
(2) liman を求めよ。
]
n→∞
(3) b=a, bn+1=an+1bnによって与えられる数列{bn} について, limb を求めよ。
ex
(1) f(x)=log =x-logxはx>0で微分可能で
x
f'(x)=1-
81U
B
←log
=logB-logA
D-S)mil
A
を利用して差の形に。
x

←
11<1から
2
C
170数学II
1 <x≦2 を満たす実数x に対して, 区間 [1, x] で平均値の定
理を用いると
f(x)-1=f'(c), 1<c<x
x-1
を満たす実数cが存在する。
1<c<2より, 0<1-1<1/2であるから 0<f(c)</
よって
D-
C
0<f(x)-11
x22xx-1
各辺にx1(0)を掛けて0<f(x)-1<1/(x-1)
x=1のとき,f(1)=1であるから0=f(x)-1=1/2(x-1)
WD. DR. CO
おいてftv)に平
をたす実数
d=0 であ
すなわち
したがって、
xyは任意
条件(*)から
Egle)-gl
17
X3
したがって, 1≦x≦2のとき
0≤ f(x)-1≤ (x-1)
(2)(1) から, 1≦x≦2のとき 15f(x)=1/2(x+1) <2
①E
α=2, a2=f(a) であるから, ① より
1≤a3≤2
これと α3=f(az), ①より
1≤a₂ ≤2
以後同様にして, すべての自然数nに対して
よって, (1) から
0≤f(an)-1≤ (an-1)
≦a≦2厳密に示すには数学的
帰納法。
この不等式の
すなわち
0≤an+1-1≤ (an-1)
2
limClx-y
0
これを繰り返し用いると
I-y
2
0≤an−1≤ (an-1−1) ≤ (1) ³ (an-2-1) ......
(6+1)!-
\1
1\n1
-1)=
1\n-1
lim
2
=0であるから
lim(an-1)=0
したがって
liman=1
80+U
(3) b1=a1, bn+1=a+16 から
bn=anbn-s=an・an-1bn-2=......
=anan-sabı=asazan
n
←=2
よって
ゆえに、関
常にg(x)=
したがって
X3
EX
90
(2)
G
Q
HINT
88
←b=a
←対数をとる。
logak=ak-ak+1
logbm=log(aa...an) = 210gak
よって
ここで, ak+1=f(ak)=ak-10ga から
ゆえに
k=1
k=1
logbn=2(ax-ax+1)=a-an+1
=2-f(an)=2-(an-logan)
limlogbn=lim(2-an+logan)=2-1+log1=1
(2)から
1118
したがって
18
→80
limbn=e
← (ak-ak+1)
k=1
= (a1-α2)+(d²-α3)+**
+(an-1-αn)
+(an-an+1)
001011
よって

C
x
Fle
-
在。
2-1
(KCC2)
(-(2-1012) - (1 - 1011)
けて
-1-1012.
1-1012
2

Answer 1

和

f(○)-f(☆)とか○-☆のような形が出てくれば、
いかにも平均値の定理、とまず考えてみます

そうすれば、おのずとやることは決まってきます
ここでは1〜xの区間での平均値の定理をやっている、
と気づきます