✨ ベストアンサー ✨
「例えば写真の問題では、
まずx^2-x-3/2の因数分解をしているということですか？」
→その通りです。その認識で合っています。
一般に、
ax²+bx+c=0の解をx=α,βとすると、
それらから作られる(x-α)(x-β)は
x²+(b/a)x+c/aの因数分解です。
二次方程式の解を求める過程を詳しく見るとわかるかと思います。
ax²+bx+c=0
↓両辺をaで割る(①)
x²+(b/a)x+c/a=0
↓平方完成(②)
(x+b/2a)²-(b²-4ac)/(2a)²=0
↓因数分解(③)
{x+(b-√b²-4ac)/2a}{x+(b+√b²-4ac)/2a}=0
↓解を求める(④)
x=(-b±√b²-4ac)/2a
解を使って因数分解することは、④の手順を逆にたどることです。
解の公式を用いて解を求めることには①②③④の手順がすべて含まれています。公式は、途中を省略しているだけであり、実際にはすべての手順が含まれています。
手順①を見ると両辺をaで割っているため、左辺はもはやax²+bx+cではなく、x²+(b/a)x+c/aとなっています。したがって、④を逆にたどって得られた因数分解{x+(b-√b²-4ac)/2a}{x+(b+√b²-4ac)/2a}はあくまでもx²+(b/a)x+c/aの因数分解であり、ax²+bx+cの因数分解ではありません。
もとに戻すには①②③④すべての手順を逆にたどる必要があるため、①(aで割る)の逆の手順(aをかける)をする必要があるということです。
要点
・解の公式には、aで割る過程(①)が含まれる
・解x=α,βから(x-α)(x-β)を作ることは、因数分解から解を求める過程(④)を逆にたどっただけなので、もとの形ax²+bx+cの因数分解を求めるには、そこからさらに①を逆にたどることが必要
・ちなみに②③はただの式変形であり、式の値は変わらない
解の公式には省略されているだけで、①②③④が含まれているのですね。逆をたどってみたら納得です。ご丁寧にありがとうございました🙇♀️