Question

りゅう

数3です。どうしてxについての恒等式になるんですか？わかる方がいたら教えて欲しいです！

106 双曲線
-=1 の2つの焦点のうち x>0 である点をF, 双曲線上
4 25
の点をP, Pから定直線 x=k に下ろした垂線を PHとする。また,
PF
-=e とおく。eが一定であるとき, e, kの値を求めよ。
Hd

これを双曲線の方程式に代入して,整理ナ。
(4e-29)r-8e'A-(29)r+4e"A?-4)s.
32
クリアー 数学Ⅲ
よって、点Pは双曲線① 上にある。
逆に、双曲線の上のすべての点 P(x, yは、条
件を満たす。
これがょについての恒等式であるから
0=トー '0= 63>- 6
したがって、求める軌跡は
=き
4e-29=0, e>0から
双曲線
(2) Pの満たす条件は
これを ー2=0 に代入して
PF: PH=1:1
これより
PF=PH
これは -4=0を満たす。
PF= PH
PF=(x-5)+y? PH'=(オー2)を代入すると
すなわち
107 (1) =エー2をy=2"+1に代入すると
2ォー2+1
取物線y=rー8r+9
(オー5+y= (エー2
すなわち
ア=6x-21
(2) ーy+5 を=3-7に代入すると
ま=3-2y+5)
2て
直線x+2y+7=0
108 放物線の方程式を変形すると
変形するとアーュー
よって、点Pは放物険の上にある。
逆に、放物線 ① 上のすべての点P( は、条
件を満たす。
したがって、求める軌は
I-8-+1+)-x)%3¢
数物線ーdュー
その頂点を P(x,)とすると
*=+1, y=ポ-3t-1
(3) Pの満たす条件は
PF- PH=
すを消去すると
=(rー1)-3xー1)-1
これより
2PF= PH
すなわち
=x-5x+3
4PF= PH
PF=(x-5)+y, PH'=(x-2Pを代入すると
4x-5P+リ=(xー2
3r-36x+4y+96=0
変形すると 3rー6ア+4y?=12
すなわち
よって
放物線 y=x-5x+3
109 (1) =5cos0, y=5sin@
すなわち
(2) =5cos0,y=3sin @
-= (S)
Que}= Qso3
1=
110 (1) =2cos0, y=2sin 0から
の
よって、点Pは精円 上にある。
逆に、楕円 の上のすべての点P(x, y)は、条件
を満たす。
したがって、求める軌跡は
cosd =、 sin0
これを sin 0 +cos'0 =1 に代入すると
I=
(9-x)
日
2Cず
円+=4
(2)x=4cos0,y=3sin 0 から
106 P(x, y)とする。
V4+25 = (2 から
PF=e'PH°であるから
F((29、0)
s0=キ sin@=
これを sin'0 + cos'0 =1に代入すると
OSO3
(xー(29)+(y-0=e{x-k
y=erーー(rーV29)
よって
=1

Answer 1

aporon

まず、P(x,y)とおいているので、その式におけるxというのは、双曲線上のすべての点におけるxが成り立つ等式になります。

特定のxの値で成り立つ方程式ではなく、双曲線の点のどのx座標を代入しても成り立つ恒等式ですね