2辺の長さが1cm と 2 cm の長方形のタイルがある、縦が2cm, 横が
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隣接3項間の連斬化式3
例題 302
の長方形の場所をこれらのタイルで過不足なく敷きつめるとき,そ
うな置き方の総数を an で表す.ただし、nは正の整数である。
第8。
n cm
(1) ai, aa を求めよ。
(3){am}の一般理 an を求めよ。
(2) an+2 を an+1, Qnを用いて表せ。
天方 タイルの置き方を具体的にイメージしてみる。
をA, 口のタイルをBで表すと,
-1n
n+2までタイルを置いたとき, 一番右端のタイルの置き方は, Aを1枚置くか, Bを2
枚置くかで2通りに分け
られる。これより、n+2
までのタイルの置き方は,
n+1
n+2
n+1
n n+2
an+2=Qn+1+an となる。
aa+1通り Aのタイル
a.通り Bのタイル2枚
「解答(1) n=1のとき,タイルの置き方は1通りより, a:=1<
n=2 のとき,タイルの置き方は2通りより, a2=2
(2) 横が(n+2) cm のとき,タイルの置き方は,次の2
つに分けられる。
(i) すでに横が (n+1) cm までタイルが置かれてく(n+1) cm まで置いて
いて、最後に縦に1枚置いて,(n+2) cm とする.いるので, an+1 (通り)
(i)すでに横がncm までタイルが置かれていて, 最 縦に2枚並べる置き方
後に横に2枚置いて, (n+2) cr
よって、(i), (i)より,
(3) 特性方程式 x=x+1, つまり, x°ーx-1=0 の2つの解を
1+/5
の S6
または
とする。
an+2=an+1+an
は(i)に含まれる:
w
p.534 参照
1-V5
B=-
2
とすると,an+2- aan+1=8(an+1lean) となる。
数列 {an+1- Can}は初項 a2-aa」=2-α, 公比Bの等比数列より,
Qミ
2
an+1-aa,=(2lα)B"-!
また,α+B=1, B=B+1 より,
2-α=B+1=B°
an+1- Qan=B°.B"-1=β"+1 ..①
また, an+2- Ban+1=α(an+1-Ban) となるから, 上と同様に、
よって,
an+1-Bam=α"+1
1
Qnミ
α-B
n+
2-Dより、
1+、5,B=-
1-5より、aの=
1-V5
1+ 5 )カ+1
より,an
2
Q=
2
2
