次のような条件を満たす2つの自然数 a,bの組をすべて求めよ。 ただし、a<bとする。
(1) 最大公約数が10、最小公倍数が150
青線を引いた部分で、互いに素、や、a'<b'と言えるのは何故でしょうか？
教えていただきたいです。
よろしくお願いします。
✨ ベストアンサー ✨
最大公約数の意味がお分かりでないようです。
aとbを分解したとき、共通して持っているものをできるだけたくさん取ると10ということです。これ以上共通するものはない。取った残りa'とb'には共通するものがない、つまり互いに素です。
a'とb'が互いに素でないということは、a'とb'はまだ何か共通する数を持っているということになってしまいます。
はじめの2数をa,bとおいたのだと思いますが、
この2つに大小関係を決めておいたほうが何かと制限がついて楽です。
a<bと決めておくと、同じ数でくくった残りa',b'は当然a'<b'です。
a’とb’が互いに素でないとすると
a’とb’は1以外に共通の約数を持つことになります。
a’とb’の最大公約数をgとおくと
a’ = αg b’ = βg (αとβは互いに素)となります。
すると
a = 10a’ = 10αg
b = 10b’ = 10βg
aとbの最大公約数が10gになってしまいます。
a’<b’については
a<bだから10a’ < 10b’となり両辺10で割って終わり
回答してくださりありがとうございます！
例がとても分かりやすかったです！
特に、a’<b’についてはa<bだから10a’ < 10b’となり両辺10で割る、という説明で納得出来ました！
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回答してくださりありがとうございます！
aとbを分解したとき、共通して持っているものをできるだけたくさん取ると10。これ以上共通するものはない。取った残りa'とb'には共通するものがない、つまり互いに素。
a'とb'が互いに素でない=a'とb'はまだ何か共通する数を持っているということ。
という説明が分かりやすかったです！