Question

じゅも

3問とも丁寧に教えてください🙇🏻💦💦

14.
1辺の長さが6cm の正四面体0-ABC の辺 OA, OB, 0C 上にそれぞれ点L, M, N
があり,AL=2cm, BM=3cm, CN=4cm である。 次の問いに答えなさい。
0
66
N
う。
L。
M
C
2
A
B
(1)線分 LM の長さを求めなさい。
(2) AOMN の面積を求めなさい。
(3) 正四面体0-ABC の体積を求めなさい。
33
(1) V13 cm
cm? (3) 18V2 cm3
2
解答

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

キャンパスノート愛好者

解答こんな感じです
(1) △OLMに余弦定理を用いて、
LM²=OL²+OM²-2OL•OM•cos60°
=4²+3²-2•4•3•(1/2)=16+9-12=13
∴LM=√13 ･･･(答) (∵LM>0)

(2)△OMN=(1/2)•OM•ON•sin60°
=(1/2)•3•2•(√3/2)=(3√3)/2 ･･･(答)

(3)頂点Oから平面ABCに下ろした垂線の足をHとすると、
Hは△ABCの重心(および外心) となる.
ここで、CからABに下ろした垂直二等分線の足をDとす ると、DH : HC =1 : 2 となり、
DC=√BC²-BD²=√6²-3²=3√3 であることから、
HC=(2/3)•DC=2√3 (=√12)
よって、△OHCに三平方の定理を用いて、
OH=√OC²-HC²=√36-18=2√6
さらに、△ABC=(1/2)•6•6•sin60°=9√3
以上より、求める体積は、
(1/3)•△ABC•OH=(1/3)•9√3•2√6=6√18=18√2 ･･･(答)

(3)がちょっと面倒でした💦

じゅも

余弦定理ってなんでしょうか、、、、

キャンパスノート愛好者

あれ、もしかして今年の4月から高校1年生の方だったでしょうか？

じゅも

はい。春から高一です。

キャンパスノート愛好者

そうでしたか、申し訳ありません。
中学校の範囲でも解決できますので、こちらの方法をご参考にしてください。
図のように、正三角形OABを抜き出して考えます。
まず、OBの中点MからOAに下ろした垂線の足をHとすると、三角定規の形の直角三角形 (△OHM) が出てくるので、
三辺の比より、
HL=OL-OH=4-(1/2)×OM=4-(1/2)×3=5/2
同様に、HM=(√3/2)×OM=3√3/2
よって三平方の定理から、求める長さdは、
d=√HL²+HM²=(√5²+(3√3)²)/2=(√25+27)/2
=√52/√4=√13
となります。

キャンパスノート愛好者

余弦定理・正弦定理は高校1年生の初めの方で学習します。

じゅも

丁寧にありがとうございます🙇🏻‍♀️💦

キャンパスノート愛好者

いえいえ、とんでもないです。
解決していただけるのが一番ですから☺️