Question

はる＊

どうやっても-Π/2log2が出てきません。途中式含め教えてください

例題 267 関数とその逆関数のグラフで囲まれた図形の面積
に対して,2つの関数 y= f(x).
π
関数 「 (x) =D tan.r (-<x<)
<xく
2
4
2
(琉球大 改)
y=f"(x) のグラフで囲まれた図形の面積Sを求めよ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

暇つぶし

以下，イメージしづらかったらグラフを書いてみてください．

グラフの対称性から x >= 0 のみを考えます．
関数とその逆関数は y = x に関して対称です．
そこで，y = x と y = f(x) の交点を調べると，
x = 0 と x = π/4 で交点を持つことがわかります．
関数とその逆関数は y = x に関して対称なので，
[0, π/4] について，
y = f^-1(x) と y = x で囲まれた面積と y = x と y = f(x) で囲まれた面積は同じになります．
よって，x >= 0 について，f(x) と f^-1(x) で囲まれた面積は
2 * ∫(0 → π/4)[x - f(x)]dx
となります．x < 0 も考慮すると，求める面積は
4 * ∫(0 → π/4)[x - f(x)]dx
です．
x - f(x) の不定積分は 1/2x^2 + π/4log|cosx| なので，
π/8(π - 4log2)
を得ます．

はる＊

ありがとうございます！