Question

まりも

数3の積分の問題です。(4)について、どうしてaを経由させるのかとｘ=a+tになるのかが分かりません。教えてください。

・108 第7章積分法
413 次のことが成り立つことを証明せよ。
(1) Sof(x) dx = f(a+b-x) dx
a
a
a
*(2)_S²__ƒ(x) dx=S₁{ƒ(x) + f(−x)}dx
a
*(3) Sƒ(x)
dx = √²³ {f(x) + f(a− x)} dx
0
a+b
a+b
(4)
f(a+x)=f(-x) = at f(x) dx = 25+ f(x) dx
a-b
a
<発展問題
58
3
3

ゆえに右辺=
f(x)dx
f(x)dx+
€/2
=Sof(x)dx=左辺
a+b
(4) = f(x) dx + f(x) dx
左辺=
la-b
x = a+t とおくと
X
a-b
dx=dt
t
-b
0
よって
S₁ f(x)dx=Sof(a+t)dt = fa-1)dt
a-b
a-t=x とおくと
t
-b
0
-dt=dx
x
a+ba
よって
Sofa-1)dt = f(x)-(-1)dx
a+b
a+b
= Satt f(x) dx
ゆえに
till=25*** f(x)dx= till
左辺=
414 (1) I=^xf (sinx)dxとする。
76

積分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

解答より下の方が問題の意味は分かると思います.
***
f(a+x)=f(a-x)はx=aで関数f(x)が対称である, ということを言っています.
偶関数f(x)=f(-x)の性質を持った関数f(x)をaだけ平行移動した, と言い換えてもいいかもしれません.
そうするとこの等式の意味は分かりやすくなります[具体的にf(x)=|x-a|や f(x)=(x-a)^2の場合を考えて見るといいでしょう].
∫[a-b->a] f(x)dx=∫[a->a+b] f(x)dx [x=aでの対称性]に∫[a->a+b]f(x)dxを両辺に足すと等式です.
言われてみると当たり前なことですが, それを証明してみようのが本問です.
***
被積分関数f(x)のx=aでの対称性に注意してt=a-xと置き換えます. dt=-dxに注意すると
∫[a-b->a]f(x)dx=-∫[b->0]f(a-t)dt=∫[0->b]f(a-x)dx=∫[0->b]f(a+x)dx
次にu=a+xと置き換えると
∫[a-b->a]f(x)dx=∫[0->b]f(a+x)dx=∫[a->a+b]f(u)du=∫[a->a+b]f(x)dx
両辺に∫[a->a+b]f(x)dxを加えることで主張は示されました.
***
解答も発想は同じですから, これまでの議論が理解できていれば読み解けるはずです.

LUX SIT

[訂正]
関数f(x)をaだけ平行移動した, と言い換えることもできます.
言われてみると当たり前なことですが, それを証明してみようというのが本問です.

まりも

実際に具体的なグラフを書いてみたら理解できました！丁寧に教えてくださってありがとうございました。