大問108について質問です。
解説を見ると、｢2+3iが解であるから、これと共役な複素数2-3iも解である｣と書いてありました。
これはもう覚えるものなのですか？
また何故なのかわかる方がいたら教えて下さるとうれしいです。
✨ ベストアンサー ✨
覚えるというよりはそういう考え方があることを知っておくと良いでしょう。
何故なら、二次方程式の解の公式を覚えていれば、それが成り立つことは二次方程式においては明らかであるからです。
＜理屈の概要＞
二次方程式の解の公式には±がありましたよね。
解が-2+3iとあれば判別式D=-3は確定します。
(∵√D=3iならばD=-3)
これによりもう一方の解は複素数と確定します。
後は解の公式の+と－どちらが付くかだけで共役な複素数は見つかります。
従って、二次方程式の解の1つが複素数であれば、もう一方は必ず共役な複素数です。
ありがとうございます！！！！！
分かりやすくて助かりました🙇♀️
複素数zの複素共役を<z>と表します。
<z^n>=<z>^n
aを実数として
<az>=a<z>
が成立します。
2次方程式が複素数解zをもっとします。
すると、
<z^2+az+b>=<z>^2+a<z>+b=0
よりその複素共役も同じ方程式を満たします。
ちなみに「実数係数」のn次方程式でも成立します。
>ちなみに〜成立します。
ですが、同じロジックをn次方程式にも適用できることは明らかです。
今回の問題の別解としては以下の方法があります。
一方の解を代入して整理すると
2a+b-5+(12+3a)i=0
を得ますが、複素数が0に等しいので、
実部と虚部をそれぞれ0とし、
連立方程式
2a+b-5=0
12+3a=0
を得ます。
補足です。
実数係数でない場合は
ある複素数解の共役も解であるとは限りません。
x^2-2ix-1=0
は重解x=iを持ちますが、
その共役-iは解ではありません。
色々詳しくありがとうございます🙇♀️🙇♀️🙇♀️🙇♀️
どちらの方も良かったのでベストアンサーに選べずごめんなさい🙇
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＜補足＞
これは覚えておきましょう。
高次方程式の解の１つが複素数であったとき、その方程式の解は共役な複素数も解にもつ。