数学
高校生
解決済み
数2の証明問題です。
穴埋めのところが全然分かりません。
回答と解説お願いしたいです。
5.次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つときを調べよ。
a? + 106? 26ab
(証明)
国
左辺一右辺=(a?+ 106?) - 6ab = a? - 6ab + 10b? = a? - 6ab +タb? +チ = (a- 3b)? +
(a- 3b)? 20,チ20 であるから(a-3b)? +チ20
したがって a?+ 106? 2 6ab
また、等号が成り立つのは a- 3b= 0 かつ チー0,すなわちa=b=ツ のときである
図
6.x>0 のとき、次の不等式を証明せよ。
1+x> V1+ 2x
な0=
(証明)
両辺の平方の差を考えると
(1+ x)? -(VI+ 2x) ->o
よって(1+ x)? > (V1+ 2x)
1+x>0, V1+ 2x>0 であるから 1+x> V1+ 2x
【関心·意欲·態度】(1点×11)
3.a+b+c=0 -0 のとき、
ab(a + b) + bc(b+c)+ ca(c + a) + 3abc = 0
を次の2つの方法で証明する。それぞれ、正しい数や文字、または記号を埋めよ。
(Aさんの証明の仕方)
まず、左辺をすべベて展開して
左辺 =
a’b+ ab? + b?c+ bc? + c?a+ ca? + 3abc
さらに工夫して変形すると
0-dEーD
= a'b+ ab? +アイウ+ b°c+ bc? +アイウ+ c?a+ca? +アィウ
= ab(a+b+c)+ bc(b+c+a)+ ca(c + a+ b)
0ぐ
よって、①より 左辺 = 0 が示された
(Bさんの証明の仕方)
のより b+c=エオ
,c+a=カキ,a+b=クケ なのでこれを左辺に代入すると
左辺
ab (|クケ)+ bc (|エオ)+ ca (カキ)+ 3abc
= 0
く
よって、成り立っ
アイウ
a llc
カキ
クケ
4.=;のとき、次の等式を証明せよ。
a+c
2a - 3c
b+d
2b-3d
(証明)
;==k とおくと、a= bk ,c =Ek
bk+回k
(レスーセン)k
a+c
2a-3c
左辺 =
b+d
右辺 =
b+d
b+d
2b-3d
2b-3d
よって、成り立つ
k
シス-セン)k
2b- 3d
(2ム-3d )k
26-3d
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