a piece of は「～のために」という意味になるので、私たち１人１人のために ということだと思います。
a cake だけだと「母は私たちのためにケーキを切りました」という意味になると思うので
「～してくれました」と言いたいのであれば、「a piece of」の方が良いと思います
英語
高校生
母は私たち一人一人にケーキを切ってくれました
My mother cut each of us a piece of cake
この文で、なぜcake の前にa piece of が必要になるのでしょうか？
また、a cakeだとダメなのでしょうか？
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