Question

まる

⑴でどうしてan＋1の時とanが3ではないと証明しただけですべての自然数nについて証明できるのか教えてください

578
OOO00
の開C
重要 例題127 分数形の漸化式(1)
重要 例題128
an-9
で定められる数列 {an} がある。
数列 {an} が a」=4,
ai=1, an+1=
an-5
an+4
とお
(1) すべての自然数nに対して anキ3であることを示せ。
(1) b=
an-2
11
(2) bn=
An-3
とおくとき,bn+1 を bnで表せ。また,一般項 anを求めよ。
(2) 数列 {an} の-
指針> 分数形の漸化式
an+
指針>分数形の漸化式である。おき換えにより,等差数列 の問題に帰着する。
(1) 背理法 による。ある自然数nについて an+1=3であると仮定し, 矛盾を導く』
(2) an を bnで表して条件の式に代入してもよいが,ここではまずan+1-3を計算し、そ
の逆数をとるとらく。
(1) bn+1
三
ant
(2) まず,数
こり
解答
解答
(1) ある自然数nについて an+1=3 とすると,条件式から
an-9=3(an-5) ゆえに(an=3
参考
x-9
an+1+4
an+1
x=
すなわち
x-5
よって
an+1=an=an-1=…………=ai=3
x-6x+9=0 を解くと
x=3(重解)
これは条件 a=1に反する。
ゆえに,an+1=3を満たす自然数nはない。
よって, bn=
1
とおき
8an+3
(ロ-
an-3
2an
また
a」キ3
換えている。詳しくはp.580
したがって
したがって,すべての自然数n に対して anキ3である。
参照。
ai+4
(2) b=
a-2
ゆえに,(1)よ
るから
(2) an+1-3=
an-9
-3から
2(an-3)
an+1-3=-
an-9
-3
an-5
an-5
an-5
(1)より anキ3であるから,両辺の逆数をとると
an-9-3(an-5)
b。
an-5 p
2 a-3
An-5
Cn+1-3
よって
G