Question

いろは

三角形の個数問題で(1)で最後の式で3-1をしてるのは何故ですか？

考え方
解
LEEN
Sat
例題 194 三角形の
A1, A2, A3, ..., A12 を頂点とする正十二角形が
ある。この頂点のうち3点を選んで三角形を作ると
き,次の個数を求めよ.
(1) 二等辺三角形
(2) 互いに合同でない三角形
(1) 二等辺三角形は、 右の図のように底辺の垂直二等
分線について対称になる.
つまり、頂角にくる点を固定して, 底角にくる点
のとり方を考えればよい.
A1~A12 について同様に考えれば, 個数を求める
ことができるが, 正三角形になる場合に注意する.
(2) 頂点間の間隔に着目する.
1
右の図のように①と②は合同
で ①と③は合同でない.
(1) A1 を頂角とする二等辺三角形は,
線分 A1A7 に関して対称な点の組
(A2, A12), (A3, A11),
(A4, A10), (A5, A9),
(A6, A8)
の5通り
Ag
3-1?
_60-(3-1)×4=52 (個)
A1
A7
A 10
2 A5
頂点は12個より, 5×12=60 (個)
oa
このうち,正三角形となる4個の三角形は3回重複して
数えている.
よって,
A12
Au
A 10
A9
A8
(A)
Ai
AZ
A₁
AS
As
A4
正三角形は他の頂点
から見ても二等辺三
角形なので、重複し
て数えてしまう.
UT
正三角形となるのは
(A1, A5, Ag),
(A2,A6, A10),

Answer 1

きりんっこ

4個の三角形が3回重複しているので、60通りでは数え過ぎてしまっている。4個の正三角形を1回ずつ数えればいいところを、3回ずつ数えてしまっている（4×3=12個として数えてしまっている）ので、余分に数えた分を60から引きたい。4個の正三角形を1回ずつ数えるのが正しいので、(3回-1回）は余分。ということで、4個×(3回-1回)を60から引いている。