Question

まーちゃん

２次関数の最大と最小の問題です。
351番の問題なのですが、　
（1）の場合分けとして0≦a＜2ではだめですか？
（2）の解説にある場合分けに用いられている4はどこから出てきたのですか？解説よろしくお願いします🙇‍♀

B
351aは正の定数とする。 関数 y=-2x²+8x+1 (0≦x≦a) につ→0②
いて,次の問いに答えよ。
(1) 最大値を求めよ。
(2) 最小値を求めよ。

351 y=-2(x-23+910≦xsa)
x=2のときy=9
x=0のときy=
x=aのときy:
0<a<2
(1)[1]
y=-2a+8a+/
ma<2のとき
x=aで最大値-2a+8a+1
[2] 2≦aのとき
x=2で最大値9
(2) [1] 0≦a<1のとき
x=0で最小値1
[2] a=1のとき
x=0で最小値1

350
指針
(2) x2-2x=t とおくと,tの
2次関数に帰着できる。 tの変域に注意する。
(1) x2 = t
1) x2=t とおくと
t20
またy=-2x+4x2 +1
=-2t2 + 4t+1
=-2(t-1)2+3
よって, ① の範囲のに
「ついて, yはt=1で最大
値3をとる。
t=1のとき
よって
x=±1
したがって, yはx=±1で最大値3をとる。
最小値はない。
2) x2-2x=t とおくと
x2=1
t=x2-2x=(x-1)2-1
t≧-1 ...... ①
また
よって
また
y=12+41+5=(1+2) ²+1
よって、 ①の範囲のに
ついて,yはf=-1で最
小値2をとる。
t=-1のとき
x2-2x=-1
よって
左辺を因数分解して
(x-1)²=0
x²-2x+1=0
3
51 関数の式を変形すると
01
ゆえに x=1
したがって, yはx=1で最小値2をとる。
最大値はない。
-2-10
y=-2(x−2)2 +9 (0≦x≦a)
x=0のときy=1
y=-2a²+8a+1
x=2で最大値 9
2
1
t
x=a のとき
x=2のときy=9
[1] 0<a<2のとき, グラフは図の実線部分
のようになる。
よって
x=αで最大値 - 2a2+ 8a +1
[2] 2≦a のとき、グラフは図の実線部分のよう
になる。
よって
[1]
-2a²+8a+1
y
注意 解答において,
[1]
02
a
[1] では, 軸が定義域の右外にある場合
[2] では, 軸が定義域内にある場合
を考えている。
なお, 軸 x=2は定義域の左端x=0 より右側に
あるため, 軸が定義域の左外にくることはない。
(2) [1] 0<a<4のとき, グラフは図の実線部分
のようになる。
よって
x=0で最小値1
[2] α=4のとき, グラフは図の実線部分のよう
になる。
よって
y1
-2a²+8a+1
また
9
[2]
O 2 a
x = 0, 4で最小値1
[2]
4x
O 2 a
-2a²+8a+1
1
352 関数の式を変形すると
0 2
[3] 4 <a のとき, グラフは図の実線部分のよう
になる。
よって
9
n
1.
x = α で最小値-2a²+8a+1
[3]
x=a のとき
10 2 4 x
a
x
4
y=3(x-a)²-3a²+2 (0≤x≤2)
x=0のとき
x=2のとき
y=2
y=14-12a
y=-3a²+2
x
数学Ⅰ
NE

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

記述における⇔大事だよね!

(1)の場合分けで、a＝0のときを含めると、範囲が0≦x≦0すなわち、x＝0となるが、これは範囲ではなく、特定の一点であるので、最大・最小を求めるというのは、おかしいです(範囲の中で最大を求めなければいけない)。ですので、0≦x≦aという範囲があったら、0＜aであると考えていいと思います。
(2)の質問に関して、この放物線の軸が×＝2であるので、放物線の対称性から、x＝0と4のとき、yの値が等しくなるのて、場合分けに4という数字が出てします(0＋4/2＝2となるため)