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円と直線の関係を利用するといいです。
円と直線の関係とは、
円の中心と直線の距離が円の半径より大きいか小さいかによって、交点が何個になるか判断できるというものです。
①円の中心と直線の距離d＜円の半径rの場合
円の近くに直線があるということであり、直線は円と異なる2点で交わります。
⇒交点の個数⋯2個
②d=rの場合
円と直線の距離が半径に一致するので、円と直線はちょうどその1点で接します。
⇒交点の個数⋯1個
③d＞rの場合
直線は円の半径よりも遠くにあり、円とは交わりません。
⇒交点の個数⋯0個
異なる2点で交わる条件は①d＜rです。
dは点と直線の距離の公式で、
点(x₁,y₁)と直線ax+by+c=0の距離dは
d=|ax₁+by₁+c|/√(a²+b²)
で求められます。
この問題では円の中心(0,1), 直線ax-y+2a=0なので、
d=|a∙0-1+2a|/√{a²+(-1)²}
であり、また、
半径r=1
です。これを条件d＜rに代入すると、
|2a-1|/√(a²+1)＜1
と、aの不等式になるので、これを満たすaの範囲が円と直線が異なる2点で交わるときに定数aがとりうる値の範囲になります。
まず、分母を払って、
|2a-1|＜√(a²+1)
両辺ともに正なので2乗しても不等号の向きは変わらず、
|2a-1|²＜{√(a²+1)}²
4a²-4a+1＜a²+1
3a²-4a＜0
a(3a-4)＜0
0＜a＜4/3
[別解]交点が2つ⇒連立方程式の解が2つ⇒2次方程式の解が2つ⇒判別式D＞0
という考え方でもできます。
連立して代入すると、
x²+(ax+2a)²-2(ax+2a)=0
(a²+1)x²+(4a²-2a)x+4a²-4a=0
D/4=(2a²-a)²-(a²+1)(4a²-4a)=-3a²+4a＞0
a(3a-4)＜0
0＜a＜4/3
最後の二乗のとこがわかんなくて困ってました！ありがとうございました！