Question

ゆるうた先生

アとイは、わかったんですけど、その後全然わかんなくて、教えていただけると嬉しいです。
(1)と(2)お願いします。

(1) x の方程式
(log,)(log,)
3^=9
t=2,x-9
が、異なる2つの解α, β (0<x<B)をもつとする。
(a) log3 x=t とおくと、*は
f - アt+a+イ=0
a <
と整理でき、よって実数の定数αの取り得る値の範囲は
ウ3
I
2)=a
0 (0 < 0 <-
(a) tan 0
(b)a=
= a... *
である。
(b) aβ= オカ
(2) aを正の定数とし、xy平面上の2直線y=ax,y=3axのなす角を
π
</1/2 とする。
=
1083 /
x
~1093 D
#a
ク + ケ 0²
2
z = -t²tzt -2
(○=(-2)(+1)
-4+6-2:0
20
図 10g3ℓ=7
のとき tan0は最大となり、 このとき0=
サ
Tπ
ス
が

(解答)
(1) 与式より、 (10og3 x-1)(2-10g3 x) = a
log3 x = t とおくと、12-3t+a+2 = 0 ….. *
これが異なる2実解 10g α, log3 βをもつので、*の判別式をDとすると
(2) D=9-4(a + 2) = 1-4a> 0 :.a< KA
また、 解と係数の関係より10g, a + log3 β= log3 αβ=3であるから、aβ=27
3a-a
2a
1+3a a 1+3
1+3a²
(2) tan0 =
-
1
相加相乗平均より+3a2
a
a
-
411-b-00²1-2-2
1
02
1
- +3a
a
1
3a=2√3 (等号成立はー=3aすなわち
a
2
1
のとき)であるから、tano 213
1
2√3 √√3
=
OK!
228 BAITA

Answer 1

Clearnoteユーザー

解答と似たような解説になってますが、少しでも力になれると幸いです

ゆるうた先生

α、βがXの部分になるのってなんでですか？？
私logx=αだと思ってたんですけど…😭
丁寧に解説送ってくれてるのにすみません！！

Clearnoteユーザー

‪α‬,βは＊の式の2解、つまりxの解だからです。
ゆえにxに代入しなければなりません。

ゆるうた先生

なるほど！
あの、解と係数との関係が使えるのってどーゆーときですか？？

ゆるうた先生

あと、、解と係数との関係で、log_3αβ=3になるのってなんでですか？！
沢山聞いちゃってすみません！

Clearnoteユーザー

解と係数の関係は、二次方程式or三次方程式で解を置いた時に使います。
本問題ではxの方程式の2解が‪α‬, βでおかれてるので、
x=a,β
log3（x）=tでおいたので、t=log3(‪α‬)、log3(β)

tの二次関数において解と係数の関係をつかっているので、
log3(‪α‬)＋log3(β)=3 ※対数の基本公式をつかって‪α‬β
log3(‪α‬)×log3(β)=a＋2

ゆるうた先生

なるほど！！
分かりました！！

あの、相加相乗の平均から得られる情報てなんですか？？
この問題に限らずに使う時ってあるじゃないですか？
私ほぼほぼ使ったこと無さすぎて、答えが出てくる度に相加・相乗を使うんだーって思ってるだけで使いこなせてなくって…

あと、等号成立の時って、なんか公式通りにやっちゃってるんですけど、
a+b>=2√abの時、a=bと。wでも上手くいかない時もあるじゃないですか…？
どーやって考えてますか？？

答えにくかったら答えなくて全然いいです！！w