組合せの問題の⑴、⑵がわかりません！

数学

高校生

解決済み

3年以上前

組合せの問題の⑴、⑵がわかりません！
まず問題文で言われている直線のイメージがうまく理解できていません💦💦
2枚目の写真のようなイメージでいたのですが、そうすると⑴の直線の交点の数が21になってしまい、矛盾してしまいます😭！
直線のイメージ、そして解説に書かれている⑴の最終文:10C3-3C2×7C1-3C3 というのがわかりません😭教えてください！

また、⑵の三角形の作り方は、三枚目の写真のような作り方であっているでしょうか⁇(3本直線を決めて、直線の延長線上に交点ができる、という考えです！)
たくさん質問すみません🙏‼︎よろしくお願いします🙇🏻‍♀️‼︎

175 平面上に 10 本の直線があり,どの3本の直線も1点で交わることはない. この10本の直線のうち, 3本だけが平行である. 114 ウ (1) 直線の交点の数を求めよ. (2) 直線によってできる三角形の個数を求めよ. (1) 10本の直線から2本の直線を選ぶ選び方は, 10 C2 通りこのうち, 選んだ2本の直線が交わらないのは,平行 3C2 通りな3本の直線から2本の直線を選んだ場合だけである. どの3本の直線も1点で交わることはないので求める交点の数は、 176 10C2-3C2=45-3=42 (個) (2) 10本の直線から3本の直線を選ぶ選び方は, 10 C3 通りどの3本の直線も1点で交わることはないので, 3本の直線を選んだときに三角形ができないのは,平行な3 本の直線から2本と残りの7本の直線から1本選んだ場合と,平行な3本の直線を選んだ場合である. よって, 求める三角形の個数は, 10C3-3C2×7C₁-3C3=120-3×7-1=98 (1) 21 te ha 交わる2本の直線の交点はすべて異なる. 3本の直線で三角形ができないのは、3本の直線が1点で交わる場合と, 2本または3 本の直線が平行な場合である.

組合せ

回答

✨ ベストアンサー ✨

通りすがり@300BA獲得

3年以上前

直線は線分と異なり、長さに限りがない線のことです。以下は、このことをふまえた説明になります。
(1)は写真のような感じです。
(2)も考え方は同じようなものです。三角形を作るためには平行ではない直線を3本選ぶ必要があるので、全ての直線から3本選んだものから、平行線を2本含むもの、平行線を3本含むものを除いたものが最終式の意味になります。

はな 3年以上前

図も書いて教えて下さりありがとうございます😭！
⑵理解することができました✨‼︎
⑴だけ、もう一つ質問させてください！
なぜ直線の交点の数を求める問題で、任意の10本から2本選び、平行線の方も3本から2本選ぶのでしょうか⁇
平行でない7本の直線それぞれに、平行な直線3本との交点があるように思えてしまうのですが…💦
再び質問すみません🙇🏻‍♀️よろしくお願いします！

通りすがり@300BA獲得 3年以上前

すみません😣💦
今読み返すと、最初の説明では不十分でした。最初の写真の図は5本の直線をかいていますが、平行ではない5本の直線を省略しています。今回添付した写真では、10本の直線と42個の交点を示しました。おっしゃる通り、平行でない7本の直線と平行な3本の直線は交点を持ちます。
基本的には2本の直線を選べば1つの交点があるはずですが、例外的に平行な2直線を選んでしまった場合、交点は無いです。ということで、
10C2-3C2
という式になります。