✨ ベストアンサー ✨
こういう問題は、
「pとqをうにゃうにゃ動かすとMはどう動くかなー」(これを順像法と言ったりします)
ではなくて、Mを(X,Y)とおいて、
「PQの中点がMになるようなpとqが存在するためには、XとYはどんな条件を満たしている必要があるかなー」(これを逆像法と言ったりします)
と考えるとうまく行く場合が結構多いです。
そして、なぜ(1)でp+q,pqを求めさせたのか考えてみると、二次方程式の解と係数との関係の利用が思いつきます。つまり、例えばt^2-(p+q)t+pq=0というtの方程式の解はt=p,qになりますから、この方程式を上手く利用してX,Yが満たすべき条件を考えると……
という感じですかね。
正直この手の問題は、類題の経験がないと発想がかなり難しい部分がいくつもありますから、最初は解けなくても仕方ないと思います。
それと詳しくは忘れてしまったのですが、友人がp+q＝0とp+q≠0で場合分けをしてそれっぽく領域を図示していたのですが、その方法はあっているのでしょうか…？
うーん、ご友人のやり方はぱっとは分からないですね……もしその方法で出来そうだったらまた書きます。
解と係数との関係の符号は、簡単なので導き方から覚えてしまうと、符号間違いなどしなくなるのでおすすめです。結局はpとqの二解を持つt(tじゃなくてもいいけど)の二次方程式を作りたいというだけなので、(t-p)(t-q)=0と立てて展開してやればいいのです。そうすると、p+qの符号はマイナスがつくはずです。
さて、先程も言ったように、求めたいのは「PQの中点が(X,Y)となるようなp,qが存在するためのX,Yの条件」です。例えばですね、t^2-(p+q)t+pq=0に(1)で求めたx,yの式をあてはめてみてください。そこに適当なx,yを代入してみましょう、(5,2)とかとにかくなんでも良いので。もしその時t=1,3とか(これは適当な数字を言ってるだけですが)出てきたら、この2解はp,qの値ですから、逆に言えば(p,q)=(1,3)または(3,1)の時Mは(5,2)となる、つまり(5,2)は求めたい領域上の点のひとつと言えるわけです。
一般の(X,Y)ならどうなるでしょう？さっきの実験の通り、もしtの二次方程式が実数解を持てば、(X,Y)は領域上の点なので、……
と考えていくと見えてくるんじゃないかなぁと思います。
丁寧にありがとうございます！
tってpなんでしょうかqなんでしょうか…
tの値かまなんなのかtの値を出したことで何がわかるのかが未だにわかりません…
実数解をもてばよいということで判別式Dを求め、D≧0とするとy≧x^2+2となったのですが、あってるんですかね…？
少なくともp＝0,q＝0のときって0と2の中点なので(x,y) ＝(0,1)となってy≧x^2+2の範囲外になると思うのですが…
ここからさらに範囲を絞るのか、自分の出した範囲が間違っているのかどうなんでしょうか？
結論から言えば、方針としてはそれで大正解です。ただ、計算ミスをしていらっしゃるようですね。私が今計算したらy≧x^2+1になりました。(実際にPとQを動かしてみたら何となくそうなりそうでもありますよね。)中点をとるための1/2とか、その辺の処理で何かお間違えになってはいないでしょうか？というわけで、以下はtの二次方程式についての説明です。
例えば、p+q=3,pq=2となるp,qを求めよ、と言われたら、多くの人は1つ目の式をp=と置いて、これを2つ目の式に代入して解くと思います。
ですが、実はもうひとつ方法があって、それがt^2-3t+2=0を解くという方法です。これを解くと、t=1,2となるので、p,qどっちかが1でどっちかが2だと分かります。(どちらがどちらでも式の形的に問題ないので)
tの二次方程式自体は、あくまでこのようにp+q=○,pq=×となるpqの組を求める方法の1つというだけです。(実は最初の方法でも結局同じ形の方程式が出てくるのですが、なぜかこういうときは解と係数の関係が使われることが圧倒的に多い気がします。何か理由があるのかもしれませんがよく分かりません)
ただ、この問題においてはp,qの値を求めたいわけではありません。具体的にp,qの値が分からなくても、そのようなp,qが存在しているかどうかが分かりさえすればよいのです。というわけでtの二次方程式の判別式を用いて実数解があるかないかを調べればよいというわけですね。
自分の出した条件であっているのか不安になったら、なぜその点が条件を満たすと言えるのか、自分のしてきた議論を頭の中で逆向きに遡ってみるのもいいと思います。今回なら、
(X,Y)が求めた領域にはいっているのはどんな時か？
→tの二次方程式が実数解を持つ時
→p+q=(X,Yのしき),pq=(X,Yの式)となるp,qが存在する
→(1)の変形を逆に施せばX=(p+q)/2みたいな式が導ける
→(X,Y)はPQの中点になりうる
よって正しい、みたいな感じで。
ほんとですね！
答え違ってました😅
先生からもヒントをいただき、無事(3)まで解答できました！
本当にありがとうございました！🙇♂️
自分も解と係数の関係思いました！
でも方程式をつくってtを出したところで何になるのかという疑問が残りました…
あとt^2「-」(p+q)t+pq=0のようにマイナスなんでしょうか…？
もう少し教えていただけると助かります🙇♂️