Question

ぎん

(3)です。なぜ重解で、D＝0としてやると求まりませんか？

B3 p, g は実数の定数とする。 3次方程式x+px+qx-4=0 は異なる3つの実数解 1,
α, βをもつ。
(1) g を用いて表せ。
(2)
り得る値の範囲を求めよ。
(3) kは定数とする。 a2+β°= k を満たすかの値がただ1つ存在するとき, kの値を求めよ。
また、そのときのかの値を求めよ。
(配点20)

17:32
1729
(2)
A
[
CO
O
€
[□
A
6
C■
ON
完答への
道のり
e
P(x)=x+px+qx-4 とおく。 (1) より
P(x)=x+px^²-(p-3)x-4
方程式 P(x)=0 は x = 1 を解にもつから, P(x) は x-1 を因数にもち.
P(x) をx-1で割ると次のようになる。
x+(p+1)x+4
または
であるから
x=1
Apとgの関係式を導くことができた。
⑤gをを用いて表すことができた｡
したがって P(x)=(x-1)(x+(p+1)x+4)
P(x)=0 とすると
x³
D0 より
(x-1)(x^²+(p+1)x+4}=0
+px-(p-3)x-4
-x²
(p+1)x²-(p-3)x
(p+1)x²-(p+1)x
完答への
道のり
x2+(p+1)x+4=0
.....(
よって, 方程式 P(x)=0 が異なる3つの実数解1.α. β をもつとき, α,
βは、 1以外の異なる2つの実数であり、 2次方程式 ① の解である。
ここで、 2次方程式 ① の判別式をDとすると
D=(p+1)-4・1・4
=(p+5) (p-3)
4x-4
4x-4
0
(p+5)(p-3)>0
< -5, 3 <か
さらに､ 2次方程式 ①は, x=1 を解にもたないから
1+ (p+1)+4 +0
すなわち キ-6
② ③ より かのとり得る値の範囲は
p<-6, -6<p <-5, 3 <p
a+β=-(p+1). β4
④より
このとき,'+B2k より
(a+B)²-2aß = k
(p+1)²-8=k
p=4
(3)
(2)より、α, βは2次方程式 ① の2つの解であるから、 解と係数の関係に
より
- 38 -
y=(6+1)-817
⑥ ⑦ のグラフがただ1つの共有点をもて
ばよいから
k=17
また, このとき. ⑤ より
(p+1)-8-17
p²+26-24-0
(p-4) (+6)=0
g-p+3
f(p)=(p+1)^²-8 とおくと, pについての方程式⑤の解は、 2次関数
y=f(p) (p<-6, -6 <p <-5, 3 <p) ...... ⑥ のグラフと直線
y=k….…….. ⑦ の共有点の座標に一致する。
ここで、⑥において, p=-6 とすると
-6
17、
-0
圏 <-6, -6<p <-5,3<p
A P(x)がx-1を因数にもつことに気づくことができた。
ⓘ P(x) を因数分解することができた。
© P(x)=0 の解の条件を、 2次方程式 ① の解の条件に置き換えることができた。
⑩ 2次方程式 ① の解の条件から、 かについての不等式を立てることができた。
2次方程式 ①がx=1 を解にもたないための条件を求めることができた。
のとり得る値の範囲を求めることができた。
0 34
7
方程式 P(x) = 0 は x = α を解
にもつ
P(x) は xα を因
整式
圏 k=17, p=4
数にもつ
組立除法を用いると、 次のように
なる。
11 p -p+3 -4
1 p+1 4
40
1 p+1
2次方程式x+bx+c=0) ….. (*)
の判別式をDとすると
2次方程式 (*)が異なる2つの実
数解をもつ D>0
(ただし、D=4ac である)
x=1は2次方程式 ① の解でない
ことを見落とさないようにする。
解と係数の関係
2次方程式
一つの解をαとすると
b
の2
x²+bx+c=0
a+β--
a+B=₁ aß=
a'
C
a
はpについての2次式で
ありの値により変化する。
y=f(p),y=kの2つのグラフ
の共有点の個数に着目する。
<f(p) (p+1) -8 より
f(-5)=(−5+1)³-8=8
f(3)=(3+1)-8=8

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

どこにも重解をもつなんて書いてないからではないですか？

むしろ異なる3つの実数解1,α,βをもつと言っているのだから、①の解α,βは異なる2つの実数解です
あえて立てるとすればD>0です

ぎん

(3)に書いてある、ただ一つpが存在すると書いてあるので、2個目の写真の答えにある式⑤で重解を使えばいいのでは？と考えたのですがどうですかー？

和

「(2)のpの範囲に」ただ一つの解をもたなくてはならないからダメです
D=0だけでは「範囲問わず」ただ一つの解をもつことになります

ぎん

理解しました。ありがとうございます😊