Question

あいうえお

なぜAHが√6a/3になるのですか？

280
重要 例 172 正四面体と球
1辺の長さがαである正四面体 ABCD がある。
(1) 正四面体 ABCD に外接する球の半径R を α を用いて表せ。
(2) (1) の半径Rの球と正四面体 ABCD の体積比を求めよ。
(3) 正四面体 ABCD に内接する球の半径をaを用いて表せ。
(4) (3)の半径rの球と正四面体 ABCD の体積比を求めよ。
指針 (1) 頂点 A から底面ABCD に垂線 AHを下ろす。
外接する球の中心をOとすると,
OA=OB=OC=OD (R) である。
また、直線 AH 上の点Pに対して
PB=PC=PD であるから, 0は直線AH 上にある。
よって、 直角三角形OBH に着目して考える。
(②2) 半径Rの球の体積は
(3) 内接する球の中心をIとすると, I から正四面体
の各面に下ろした垂線の長さは等しい。 正四面体を
Ⅰを頂点とする4つの合同な四面体に分けると
(正四面体 ABCD の体積)=4×(四面体 IBCD の体積)
これから､半径r を求める。
例題167 (3) で三角形の内接円の半径を求めるとき,
三角形を3つに分け, 面積を利用したのと同様)
(1) 頂点Aから底面ABCD に垂線 AHを下ろし、 外接
する球の中心を0とすると, は線分 AH 上にあり
OA=OB=R
4
AR
1/12
ゆえに
OH=AH-OA= a-R
△OBHは直角三角形であるから, 三平方の定理により
BH2+OH² = OB2
ゆえに
*₂7 (2)²+(a-R)²=R²
よって
3
整理して
2√6
3
√6
3
aR=0
R= 23a = √6 a
2√6
4
√6
8
(2) 正四面体 ABCD の体積をVとすると
また、半径Rの球の体積をV. とすると
4
4
V₁=1 R² = 1² (¹6)=√xa
3
3 4
8
よって
V1:V=
√√2
-ла³:
12
B
-a³=9n: 2√3
B
v=12a²
V=
<AH=-
H-√₂
-a₂
3
a
=73
170 (1) の結果を用いた
BH=-
B
a
C
√2
V=-
は基本
170 (2) の結果を用いた
(3) P
検討
IAC
V
ゆ
(4)
空基空
重
考
12
練習
③172

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

右の欄外に前問参照のようなことが書いてあるようですね

あいうえお

ほんとでした💦
見落としてました、ありがとうございます🙇