Question

0210723

青色のマーカーで等号がなくなるのはどうしてですか

x>0のとき、 次の不等式が成り立つことを示しなさい。
x²
2
e > 1+x+
左辺と右辺の形が違うため、 両辺を変形して不等式を示す、という方針は難しそうです
こういう場合に、 微分を利用できる場合があります。
左辺と右辺の両方に文字が入っていると考えにくいので、
f(x)=e-1-æ-
2
とおいて考えましょう。 f(x) >0を示せばいいということですね。
f(0) = 0 なので、f(x) が単調増加ならば、f(x) はつねに正であることがわかります
そうなっているか確かめるために、 微分してみましょう。
f'(x)=e^-1-æ
こうなります。 これが今考えている範囲でプラスだったら、単調増加であることがわか
ますが、 今の場合、 これがプラスであることは、 すぐにはわかりません。
「なら、 微分を使う方法はダメか…..」 とあきらめるのはまだ早いです。 もう一度微分し
みましょう。
f'(x) = e-1
となります。これなら、 x>0の範囲で f'(x) > 0 であることがわかります。つまり
x≧0の範囲で、 f'(x) は単調増加であることがわかります。
ただ、単調増加でも、正の値になっているとは限りません。 今のケースであれば、 範囲
左端に注目すればいいですね。
f'(0)=e_1−0=0
であり、æ≧0の範囲で単調増加であるから、æ > 0 の範囲では f'(x) > f'(0) = 0
あることがわかります。つまり、 f'(x) は正です。
f'(x) > 0 なのだから、 x>0の範囲でf(x) は単調増加であることがわかります。
f(0) = 0 なので、 x>0 の範囲では、
f(x) > f(0) = 0
となることがわかります。