Question

G

合成関数がよく分かりません！
(2)の別解に書かれているh(x)=(g。f^-1)(x)
なのですが
何故h(x)=(g。f^-1)(x)になるのか教えて欲しいです！

Check
例題128 合成関数
(1)
f(x)=3x+1,g(x)=2x2-2, h(x)=
「考え方 合成関数は順序を間違えないように注意しよう.
(1)()((fog)。h)(x) は, f°g=Fと考えると,
(Foh)(x)=F(h(x)) となる.
練習
を求めよ.
(ア) (fog)(x)
(イ)((fog)。h)(x)
(2) 関数f(x)=x+2,g(x)=3x-4 がある. (hof) (x)=g(x) となる
関数h(x) を求めよ.
Focus
(2) y=f(x)とおいて, y を上手く利用する.
つまり, (hof)(x)=h(f(x))=h(y) となる.
または、右のように f(x) の逆関数 f''(x)
を用いて考えてもよい . )
=1のとき、次の合成関数
(1) (7) (ƒ•g)(x)=f(g(x))=f(2x²-2)
(イ) ((fog)。h)(x)=(f°g) (h(x))
2
2
=(s. 9) (²₁)-6(²₁)²-5=(x-1)-5
=3(2x²-2)+1=6x²-5
よって,
(別解) f(x)=x+2 より,
(2) y=f(x) とおくと,
(hᵒf)(x)=h(f(x))=h(y)
したがって, (hof) (x)=g(x) より,
h(y)=g(x)=3x-4 ...... ①
h(x)=3x-10
また, y=f(x)=x+2 より,
x=y-2
これを①に代入すると, h(y)=3(y-2)-4=3y-10
24
(f)(x)=g(x) より,
f-¹(x)=x-2
合成関数 (gf) (x)=g(f(x))
**
h(x)=(gof-1)(x)=g(f'(x))
=3(x-2)-4=3x-10
h?
0010
h?
1010
(f°g) (x) は(ア)の結
果を利用する.
y=f(x) とおいて,
まずん(y) を求める.
h (y) をxの式で表
す。
hy→3y-10
より, yx を代入す
ればん(x) が求まる.
y=x+2 とすると
x=y-2より,
f'(x)=x-2
注》例題128 (2)でん(x)=3x-10 のとき,
(h*f(x)=h(f(x))=3(x+2)-10=3x-4=g(x) となり,題意を満たしている.

Answer 1

スケコマシ

(h。f)(x)=g(x)
h(f(x))=g(x)
ここで、覚えていてほしいのが、逆関数の合成関数はxになるということです。
つまり、f(f^-1(x))=xです。
よって、先程の式においてx→f^-1(x)とすると、
h(f(f^-1(x)))=g(f^-1(x))
h(x)=(g。f^-1)(x)となります。