Question

ジェフ万次郎

【2】（4）の解説で、わからないところがあります。
（ⅰ）の場合を考えるとき、t=8を解にもつときを考えています。この作業はなぜしなければならないんでしょうか。t=-3/4が出てきて、それが不適だと示すのもよくわかりません。

【2】αを実数の定数とする. xの方程式
(x2+2x)2-α(x2+2x) - 6=0
......(*)
を考える.次の各問いに答えよ. (1)は結果のみを記入せよ (2)~(4)は結
果のみではなく、考え方の筋道も記せ.
(1)
t = x² + 2x
とおく.xが実数全体を動くときのものとり得る値の範囲を求めよ.
(2)(i) a=1のとき, (*) の実数解を求めよ.
(ii) α=5のとき, (*) の実数解を求めよ.
(3) (*)の異なる実数解の個数をαの値で分類して求めよ.
(4) (*)の異なる実数解のうち-4≦x≦3を満たすものがちょうど3個で
あるためのαの条件を求めよ.
(50点)

2) ² 4²
I
ある.
(4) -4≦x≦3の範囲に限定してy=x+2xのグラフをかくと、下図の実線部
のようになる.
-4
15
y
A
-10
これより,
8
まず, ① がt=8 を解にもつとすると,
f (8)=58-8a=0
xを-4≦x≦3の範囲に限定するとき, (3) と同様に,
y=x2+2x(-4≦x≦3) と y=tの共有点を調べることにより、1つの実数t
に対応する異なる実数xの個数は,
[t <-1, 15 <tのとき
0個
{t=-1,8<t≦15 のとき 1個
-1<t≦8のとき
215
より, a= 29 となる.このとき①は,
4
すなわち,
である。
よって, (*) の異なる実数解のうち4≦x≦3を満たすものがちょうど3
個であるのは,イと⑦を合わせた場合であるから,
(i) ①の1つの解が 8 <t≦15 を満たし、 もう1つの解が-1<t≦8を満たす.
(i) ①の1つの解がt=-1であり,もう1つの解が-1<t≦8を満たす.
のいずれかのときである. 以下, それぞれの場合について考える.
(i)の場合
29 <a= 73
4
5
y=x2+2x
3
t² - 29t-6=0
となり,これを解くと,
3
t=8,
4
となり,t=-1214は8<t15 を満たさない。したがって①が
-1 <t<8,8<t≦15の範囲に1個ずつ解をもつための条件を求めればよ
a>5かつa> 2② かつ≦ 73
5
-y=t
y=f(t) のグラフを考えると,満たすべき条件は、
f(-1) 0かつf(8) <0かつf(15) ≧0
0-2-6
①が-1<t
2解をもち,
異なる実数.
るから(*)
数解をもつ
rf(15) = 15²
=219
=3(7
\ y = f(t)
17

2次関数