Question

adgjmptw

複素数の問題なのですが、なぜ純虚数なのに極形式で表すとcosが現れるのでしょうか？

( )( ) 名前(
3 次の方程式の解を求めよ。
(1) z³=27i
(4) ²2=-1-√Bi
(解説)
方程式の解の極形式を z = ncos0 + isin 0)
(1) z3=r (cos30 + isin 30 )
27i を極形式で表すと
(2) z¹ = -25
(5) ²4=32(-1+√3i)
r> 0 であるから r=3
27i=27 cosmotisin-
よって r³ (cos 30 isin30)=27(cos
両辺の絶対値と偏角を比較すると
= 27(cos+isin)
......
②
..…....
また
③を①に代入すると, 求める解は
r°=27,30=m+2kz(k は整数)
0 = 二十 +
① とする。
0≤0<2² の範囲で考えると,k=0, 1, 2 であるから
(3) z=-1
Z=
2kπ
3
0=
より
π 5 3
ラ
6 6
π
z=3√3+21.-3√3+2i, -3i
)

5
10
15
12 第1章 複素数平面
20
2 複素数の極形式と乗法, 除法
A 極形式
平面上で, 点 0 を中心として半直線 OX
を半直線 OP の位置まで回転させる。 向
考えたこの回転の角のことを, 半直線
OX から半直線 OP までの回転角という。
ただし, 時計の針の回転と逆の向きを正の
向きとし, 角は弧度法で表すこととする。
このとき、 右の図のように、 負の角や2ヶより大きい角も考えられる。
よっては次の形に表される。
z=r (cos0+isin0 )
-1
複素数平面上で, 0 でない複素数z=a+bi を表す点をPとする。
線分 OP の長さを実軸の正の部分か
ら半直線 OP までの回転角を0とすると
a=rcose, b=rsin0
y4
b
13
A
6
0
10
P
□
P
a
・X
z=a+bi
x
ただし, r>0
これを複素数zの極形式という。
ここで, rはぇの絶対値に等しい。
また, 角0をzの偏角といい, argz で表す。 すなわち
r=|z|, 0=argz
特に, 絶対値が1の複素数zの極形式は、 z= cos0+ isin0である。
複素数zの偏角0は, 0≦0<2πの範囲ではただ1通りに定まる。 偏
角の1つを0 とすると, zの偏角は一般に次のように表される。
argz=0+2nπ (nは整数)
25 【注意】以後,複素数を極形式で表すとき, その複素数は0でないとする。

複素数