Question

花那🌸

数Bの統計です。
3枚の硬貨を同時に投げる操作を3回繰り返し, k回目 (k=1,2,3) に表の出た硬貨の枚数に対し,そのk倍の得点を得られるとき, 得点合計の分散を求めよ。
答えは21/2です。
教えてください。

統計

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

しゃむげーむ

コイン1枚を1回投げる時、表の出る回数を確率変数Xで表す。するとXは二項分布B(1, 1/2)に従い
期待値はE(X)=1×(1/2)+0×(1/2)=1/2
分散はV(X)=E(X²)-{E(X)}²
=1²×(1/2)+0²×(1/2)-(1/2)²
=1/4
となる。

しゃむげーむ

ここまではご存知かと思いますが、ここから問題を解いて行きます。

しゃむげーむ

3枚のコインを1回投げる試行を行う時、それぞれのコインについて表が出る回数を確率変数
X₁, X₂, X₃
で表すと、それぞれの変数は先ほど上で述べた確率変数Xと全く同じ性質をもつ。3枚の中で表が出たコインの枚数を表す変数X₁+X₂+X₃にk回目の試行であることを示す序数k∈{1, 2, 3}を掛けることで得られる確率変数(つまりk回目に得られた得点についての変数)であるk(X₁+X₂+X₃)について考える。

コインの表裏のどちらかが出るかは他のコインの結果に影響されないので、確率変数X₁, X₂, X₃は独立である。この事とVの性質から
V{k(X₁+X₂+X₃)}=V{kX₁+kX₂+kX₃}
=k²V(X₁)+k²V(X₂)+k²V(X₃)
=k²(1/4)+k²(1/4)+k²(1/4)
=3k²/4
が成り立つ。

これがk回目における得点の分散である。
1回目〜3回目までの試行の結果は互いに影響を及ぼさないので独立である。よって各回の得点の分散の和が総得点の分散の和となる。

だから、合計得点の確率変数Yに対して
V(Y)=V{1×(X₁+X₂+X₃)}+V{2×(X₁+X₂+X₃)+V{3×(X₁+X₂+X₃)
=(3×1²/4)+(3×2²/4)+(3×3²/4)
=21/2

以上

花那🌸

的確な回答ありがとうございます😭

しゃむげーむ

本筋には影響ないですが、私の回答の以下の部分に少し不適切な部分がありました。

だから、合計得点の確率変数Yに対して
V(Y)=V{1×(X₁+X₂+X₃)}+V{2×(X₁+X₂+X₃)+V{3×(X₁+X₂+X₃)
=(3×1²/4)+(3×2²/4)+(3×3²/4)
=21/2

ここで1回目〜3回目までそれぞれで、表が出たコインの枚数の確率変数を全てX₁+X₂+X₃と表してしまっていますが、本来これらは全く別の変数として扱わないといけないので
X₁+X₂+X₃
X₁’+X₂’+X₃’
X₁”+X₂”+X₃”
とおくべきでした。
同じ変数として扱ってしまうとそれぞれ独立でないという事を意味してしまい、分散の足し算が出来なくなってしまうので訂正しました。表記の変更が必要なだけで、計算等含め他のところはそのままで大丈夫です。

以上
以上

花那🌸

その通りですね。採点者によっては許容してくれるかもしれません。

花那🌸

ありがとうございました😊