Question

しのん

1枚目の証明は合っていますか？
2枚目の証明はどのように解いたら良いか分からないので教えて下さるととても助かりますm(_ _)m

1. 以下の問題の対して, 出来るだけ分かりやすい解説を作ってください。
nは整数とする。 n2 が3の倍数ならば, nは3の倍数であることを証明せよ。
この
命題
の
対隅「
んが3の倍数でないならば、n²は3の倍数でない」
nは整数kを用いて
または、n=3Kさてと表すことができる。
すなわちんが3の倍数でないとき
n=3k±1
(1) n=3k±1のとき
n² = (3/ ± 1)' = 9 k² ± 6 k tl
=3 (31±2k)+1
となり、3kI2Kは整数であるからん²は3の倍数では
(ii) n=3k±てのとき
n² = (3k + ²)² = 9₁ ²² ± 12 / +4
ごぶ(31±4K)+4
となり、3k派は整数であるからんはこの倍数では
ない。
したがって、(ⅰ)(ⅲiⅰ)より、いずれの場合もんは3の倍数で
よって対隅が証明されたので、元の命題も成り立つ。

問題の対して, 出来るだけ分かりやすい解説を作ってください。
大問1を利用して, √3 が無理数であることを証明せよ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

AZ

1枚目の証明
n=3k±1の場合だけを調べれば十分です.
よって,(ii)の部分は削除して構いません.
因みに,(ii)の3(3k²±4k)+4は更に変形して
3(3k²±4k+1)+1とするべきです.
2枚目の証明
√3が有理数,つまり√3＝p/q　(p,qは互いに素な自然数(q≠0))と表せるとする.
q≠0より
√3q=p
3q²=p²
ここで,p,qが互いに素であることと最初の証明から,pは3の倍数であり,p=3p' (p'は自然数)と書ける.
よって3q²＝9p'²
q²=3p'²
同様にq＝3q' (q'は自然数)と書けるが,これはp,qが互いに素であることに矛盾するので√3は有理数でない.
∴√3は無理数

しのん

ありがとうございます！すごく助かりました！