Question

芽瑠

この問題教えてください！

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1次関数 y=-2x+10 のグラフが,x軸,
y軸と交わる点を,それぞれ A,Bとする。
点P(x, y) が線分AB上を動くとき、次の
問いに答えよ。
(1) OP2 をxの式で表せ。
(2) 線分 OP の長さの最小値を求めよ。
10B
AP(x,y)
A
O H 5
x

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あたろー

1)　三平方の定理より、
　　𝑂𝑃²＝𝑂𝐻²＋𝐻𝑃²
　　　 ＝𝑥²＋𝑦²　　　　𝑦＝−2𝑥＋10であるから、
　　　 ＝𝑥²＋(−2𝑥＋10)²　　(ただし、0≦𝑥≦5)
2)　𝑓 (𝑥)＝𝑥²＋(−2𝑥＋10)²　(0≦𝑥≦5)とおく。
整理して　𝑓 (𝑥)＝𝑥²＋(4𝑥²−40𝑥＋100)
　　　　　　 ＝5𝑥²−40𝑥＋100
平方完成して ＝(𝑥-4)²+20
ゆえに、𝑓 (𝑥)は 𝑥＝4で最小値20をとる。これは適する。
このとき、　𝑦＝2　また、𝑓 (𝑥)＝𝑂𝑃²＝20より𝑂𝑃＝2√5
したがって, 𝑥＝4,𝑦＝2のとき線分𝑂𝑃は最小値2√5をとる。□