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(1) an+bn+cn=1より、bn+cn=1-anであることがわかります。
bn+cnという形、3an+1=bn+cnにそのまま出てきているので代入し、特殊解型(an+1=pan+q型)に帰着できるため、それを解けば良いです。
(2) 3an+1=bn+cnの両辺を2倍し、an+bn+cn=1の両辺を6倍します。
6倍したものは6an+6bn+6cn=6となります。漸化式の定義より、6an+1+6bn+1+6cn+1=6・・・①も成り立ちますね。(nにn+1を代入すると考えればよいです。)
さて、先ほど3an+1=bn+cnの両辺を2倍したので、6an+1=2bn+2cnは成り立ちます。
これを①に代入します。
また、6bn+1=3an+4cnも題意より成り立ちますから①に代入します。
最終的に3an+2bn+6cn+6cn+1=6となります。ここで①より6は6an+1+6bn+1+6cn+1に変えられるので変えて式変形すると示せます。
また、示した6cn+1=3an+4bnと6bn+1=3an+4cnの係数を比較すればbn=cnが成り立つこともわかります。
(3) (2)にてbn=cnを示したので使っても良いことになりました。ここで3an+1=bn+cnにbn=cnを代入して3an+1=2bnがわかります。(1)でanの一般項は求めたのでその一般項のnにn+1を代入したものをan+1に代入すれば簡単にbnが求まります。
これは数列｛bn-cn｝が公比-2/3の等比数列であることを示しています。bn-cnの一般項を求めれば目標のbn=cnが示せます。頑張ってください。
この解答の(2)について不十分な箇所があったため修正いたします。
示した6cn+1=3an+4bnと問題の6bn+1=3an+4cnの係数を比較しましたが、これらは必ずしもanに関する恒等式とは限りません。(たまたま同じ形になっただけかもということです)
そこで、これら2つの辺々を引くと、bn+1-cn+1=-2/3(bn-cn)という式が現れます。これは数列｛bn-cn｝が公比-2/3の等比数列であることを示しています。bn-cnの一般項を求めればbn=cnが導けます。頑張ってください。