Question

プリン(っ ॑꒳ ॑c)ﾝﾏｯ!!

この問題の(2)の解説がよく分かりません。どなたか教えてくださいm(_ _)m

2
数列{an}の初項から第n項までの和Snが
Sn=2an-n
で与えられるとき, 次の問いに答えよ。
(1) α1 を求めよ。
(2) S1 と Snを考えることにより, an+1 を an の式で表せ。
10 (3) an を求めよ。

2 (1) S=2an-n ・･・・①とする。
① で n=1 とすると, Si=2a1-1
S1 = a であるから, a1=2a1-1
よって, α=1
(2) Sn+1=2an+1- (n+1)
②-①より.
2
Sn+1−Sn={2an+1−(n+1)}-(2an-n)
これより, an+1=2an+1-2an-1
よって, an+1=2an+1
(3)
(3) α=2x+1を解くと, α=-1
③は, an+1+1=2(an+1) と変形できる。
ここで,cn=an+1とおくと,
....
Cn+1=2cn, C1=a1+1=2
よって, 数列{cm} は, 初項2,公比2の等比数列となり,
Cn=2.2"12" すなわち, an+1=2"
よって, an=2"-1

漸化式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ブドウくん

Snというのは1項目からn項目までを足したもので、S(n+1)というのは1項目から(n+1)項目までを足したものですよね。1項目から(n+1)項目までの足し算S(n+1)は、1項目からn項目までを足して(つまりS(n)のこと)、その後にn+1項目のa(n+1)を足したと考えられるので、
S(n+1)=S(n)+a(n+1)
つまり
S(n+1)-S(n)=a(n+1)
となります。
これは、和Sの情報をa(n)の情報に変換できるということを意味しています。S(n+1)-S(n)は、与えられた漸化式から3行目のようになり、この計算を行った結果が解説4行目の式の右辺です。これがa(n+1)と等しくなります。(これが4行目)あとは整理しただけですね。
この手の問題は模試などでもよく出題されるので、(2)の「Snを考えることにより」の誘導がなくとも、もっと言えばいきなり(3)が出されても答えられるくらいにしておきましょう。

プリン(っ ॑꒳ ॑c)ﾝﾏｯ!!

S(n)+a(n+1)=S(n+1)は思いつきませんでした！
解説して頂きありがとうございましす！