二次関数についてです。 (2)の最大値とXの値を求める問題なのですが、なぜ

数学

高校生

解決済み

3年弱前

二次関数についてです。

(2)の最大値とXの値を求める問題なのですが、なぜ
（ア）a<-1のとき (イ)a＝-1のとき (ウ)a>-1のときとなるのか分かりません。(ウ)は写っていません。
もっと簡潔にいうと、-1をどうやって出したのかが分かりません。他の解き方は分かるのですが、よろしくお願いします。

練習 72 2次関数f(x)=x2-2ax+1 (-2≦x≦0) について (1) f(x) の最小値とそのときのxの値を求めよ。 (2) f(x) の最大値とそのときのxの値を求めよ。 f(x)=x²-2ax+1=(x-a)²-a² +1 よって, y=f(x)のグラフは,軸が直線x=α, 頂点が点(a, -' + 1 ) の下に凸の放物線である。 (1) (ア) a≦2のとき軸は区間より左にあるから, f(x) は x=2のとき最小値 4α+5 (イ) -2 <a≦0 のとき軸は区間内にあるから, f(x) は x=α のとき最小値 - α² +1 (ウ) α>0 のとき軸は区間より右にあるから, f(x) は x=0のとき最小値1 (2) (ア) a1 のとき軸は区間の中央より左にあるから, f(x) は x=0のとき最大値1 (イ) α = -1 のとき軸は区間の中央にあるから, f(x) は x=-2,0 のとき最大値1 a-2 -2 a -2 0 0a -2f-10 a -2-10 区間内でf(x)は増加るからf(-2)<f(0) 頂点のy座標が最小値である。「区間内でf(x) は減射るから f(-2) a < 1 のとき f(-2) <f(0) グラフの対称性から f(-2)=f(0)

回答

✨ ベストアンサー ✨

ブドウくん

3年弱前

まず、この問題での関数は軸が文字aになっているので、aを動かすとグラフが動いていくというイメージを持ってください。
その上で、イを見ればちょうどx=a=-1のとき、2次関数は軸に対して対称だから区間の端x=0と-2で同じ値をとっていて、それらが最大値であることがわかりますよね。
そこからaを負の方に動かして、それよりも軸が左にずれると、アのようになるし、右にずれると、（写真はないけど）ウのようになります。アのとき、区間内の2次関数の部分は、イの時よりもずれるので、x=-2のときよりもx=0のときのほうが大きくなって、最大をとるxは0になるし、逆にウでは、x=0のときよりもx=-2のときの方が大きくなるので、最大をとるxは-2になります。
最大をとるxが代わるタイミングというのは、ちょうどイのように、軸が区間のちょうど真ん中に来て、どっちの端も最大になる時であるので、0と-2の真ん中-1で場合分けが発生しているというわけです。

なかなかに説明が上手じゃないなと自分でも思いますが、これで分かってもらえますかね？