Question

しろくま

数IIの『複素数と方程式』の分野で質問です。
問題文では、「解がともに1より大きい時」と書いてあるのになぜ解答ではα−1、β−1と表しているのでしょうか？
α＋1、β+1にはならないのでしょうか…？

20 [710高等学校 数学Ⅱ 章末問題6]
2次方程式xー2(m-1)x+m+5=0が異なる2つの解をもち,その解がともに1より大
きいとき,定数mの値の範囲を求めよ。

この2次方程式の2つの解をα, βとし,判別式を D
とする。
この2次方程式が, 異なる2つの解をもち,その解が
ともに1より大きいのは,次が成り立つときである。
D>0 で, (a-1)+(β−1)>0 かつ (α-1)(β−1) > 0
ここで
={−(m−1)}² — 1.(m+5)
D
4
=m²-3m-4=(m+1)(m-4)
(m+1)(m-4) > 0
D>0 より
よって
また, 解と係数の関係により
m<-1,4<m
a+β=2(m-1),aß=m+5
(a+β)-2>0
(a-1)+(β−1) > 0 より
よって2(m-1)-2>0
これを解くとm>2
(α−1)(β−1) > 0 より
よって
①
(2)
aβ- (a + β) + 1 > 0
m+5−2(m-1)+1>0
これを解くと m<8
③3
①,②, ③ の共通範囲を求めて
4<m<8

複素数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

ちゃんと順を追って考えましょう

1行目の通り、解はα、βであって、
α-1でもなければα+1でもありません

解が1より大きいということはα>1ということです
したがってα-1>0です
βについても同様にβ-1>0です

なぜ1を移項したかというと、
○、△を実数とするとき
「○>0かつ△>0」と「○+△>0かつ○△>0」が同値
という性質を使うためです
右辺が0でないと直接使えないため、
α>1をα-1>0として使っています

しろくま

ご回答いただきありがとうございます🙇‍♀️
順にそって考えると理解することができました🙏1を移行する理由もとてもわかりやすく、理解が深まりました。