Question

tkhsre

(3)の積分について、解答ではなぜ何か積の形からインテグラルを引いているのですか？どういう意図でこの計算になってるかが分かりません。教えて欲しいです。

e
f(x)=210gx(x>0) について,次の問いに答えよ. 2&k
(1) f(x) の極値を求めよ.
(2)a(a>0) における y=f(x) の接線が原点を通るときのαの
値を求めよ。
(3) x軸, (2)で求めた接線および y=f(x) とで囲まれる部分の面積S
を求めよ.

$2
(2)(a,
(a,
y
eloga
a²
における接線は
eloga_e(1-2loga)(x-a)^^»-(x)\, \/ ||
=
y=
y = e(1-2loga) r+ e(3loga-1)
これが,原点を通るので, 310ga-1=0
pl. a=³√e
(3) (2)より、接線は, y =
= 1/3 x
よって, Sは右図の斜線部分の面積を表す.
YA
co/199
√ē
y=-
X²
y = = 1/32 2
X
1 3√e X
log.x

2
: S=
S=1 Vee-flogrdr= Ve² - ef logr dx
2
6
ここで,
Sve log.x dx=f..
10
2
tres
$21101
r−•logrdr=|* (−z^)log dr()
³√e
dx
1
+₁ +¹(log.x)' dx==3√/ + d
-Live
=[-log] + x¹(loga)' dx=-
==
3/6 + [-²] ² = 3/4 +
33/e
X
e
ove
1₂. S=v0² -e(-34/+1)=√²-e
ve
2
よって,
6
XE

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

希

(3)で求めたい面積Sというものを言葉で表してみます。すると、次のようになります。
S=(0≦x≦3√eの範囲でy=1/3xとx軸で囲まれる
面積) - (1≦x≦3√eの範囲でy=logxとx軸で囲まれる面積)
このとき、前半のy=1/3xとx軸で囲まれる面積は、三角形の面積です。なので、この面積はわざわざ積分で計算するのではなく、(1/2×底辺×高さ)で求めます。
後半のy=logxのほうは普通に積分を使った面積の求め方です。

tkhsre

そういう意味だったんですね！
すっきりしました。ありがとうございます！