Question

tkhsre

(1)の式変形を教えて欲しいです。

zy平面上に2点A(a,0),B(-α, 0) (a>0) が与えられているとき,
次の問いに答えよ.
10**
(1)
P(x,y) が PA･PB=α をみたすとき, x,yの関係式を求めよ.
(2) 原点を極, x軸の正の部分を始線とする極座標を考えるとき (1) に
おける点Pが描く曲線の極方程式を求めよ.
(3) (1)で求めたPの軌跡は'+y'≦2a² が表す領域に含まれることを
示せ.

(1) PA=√(x−a)²+y², PB=√(x+a) ² + y² +²²5₂
PA・PB=α2 より
AutAROD
{(x−a)²+y²}{(x+a)²+y²}=aª
⇒ {(x²+y²)+(a²—2ax)}{(x² + y²)+(a²+2ax)}=aª
(x²+y²)²+2a²(x² + y²) + a²-4a²x²=a²
(x² + y²)²-2a²(x² - y²)=0 ..(*)
(3
(1) Jup

Answer 1

さらら

{(x-a)^2+y^2}{(x+a)^2+y^2}=a^4
{}内をそれぞれ展開して
(x^2-2ax+a^2+y^2) (x^2+2ax+a^2+y^2)=a^4
共通項であるx^2+y^2をBと置いて並べ替えると
{B+(a^2-2ax)} {B+(a^2+2ax)}=a^4
展開すると
B^2+B(a^2+2ax)+B(a^2-2ax)
+(a^2-2ax)(a^2+2ax)=a^4
B^2+(a^2B+2axB+a^2B-2axB)
+a^4-4a^2x^2=a^4
B^2+2a^2B +a^4-4a^2x^2=a^4
B= x^2+y^2なので、
(x^2+y^2)^2 +2a^2(x^2+y^2)
+a^4-4a^2x^2=a^4
真ん中の項を展開し、a^4を消すと
(x^2+y^2)^2 +2a^2x^2+2a^2y^2-4a^2x^2=0
さらに計算すると
(x^2+y^2)^2 -2a^2x^2+2a^2y^2=0
-2a^2でくくると
(x^2+y^2)^2 -2a^2(x^2-y^2)=0