Question

チナミ

数学の「集合と命題」についてです。
写真の3つの問題を教えていただきたいです。授業で習ったのですが、よく理解できなくて……
よろしくお願いします。

[713高等学校 数学Ⅰ 練習 13] ☆
x, y, z は実数とする。 次の中で, x=yと同値な条件をすべて選べ。
① x+z=y+z
②x2=y2
③ (x-y)^2=0

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ブドウくん

AとBが同値であるというのは、AとBが必要十分条件を満たしているという意味です。つまりAとBが条件として違う言い方だけど全く同じことを言っているということです。
この問題は、必要十分条件を満たすかどうか、すなわち「AならばBである」「BならばAである」が両方とも成り立つかを確かめて、成り立つものを選べばよいです。

②x=yならばx²=y²
これは両辺を2乗することで成立します。
x²=y²ならばx=y
これはx²=y²をxに関する2次方程式だと見れば、x²=4を解く様にx²=±yとなるので、「x²=y²」は「x=yとx=-y」と同値です。よって、x=yだけだとx²=y²と同値とはいえません。x=yはx²=y²の十分条件であって必要条件ではない、が答えになります。癖のように答案に同値記号⇔を書く人がいますが、このように両辺を2乗する作業は同値変形ではないので、その癖はやめておくほうが良いです。

①x=yであるならばx+z=y+z
　x+z=y+zならばx=y
x+z=y+zは両辺からzを引く（移項する）ことでx=yとなるので、ともに成り立ちます。よって必要十分条件です。

③(x-y)²=0ならばx=y
x=yならば(x-y)²=0
下の方は代入すればすぐにわかります。上の方は、x-y=tなどと置いてやればわかりやすいですが、t²=0は(2)みたいにプラマイ問題が発生しないのでt=0と同値といえます。よってx-y=0よりx=yといえます。

もっと詳しい解説が必要だったりわからないことあれば聞いてください

チナミ

いつもありがとうございます！
習ったばかりでよく分からなかったので、丁寧に説明してくださりありがとうございます。助かりました！
まだ不安なので、問題をたくさん解いて理解しようと思います。