Question

てぃあ

？を書いた辺りから分かりません。詳しく説明お願いします

424 放物線y=x2 上の点で,点 (63) から最短距離にある点の座標と、その距離
を求めよ。
OBER
2*125関数f(x)=x²-6ax²+b (-1≦x≦2) の最大値が 5, 最小値が−27である

1064 プロセス数学ⅡI
424
指針■
放物線上の点と点 (6, 3) の距離の2乗を関数
で表す。 距離は正であるから、距離の2乗の
最小値を考えればよい。
放物線y=x2 上の点の座
|標を (x, x2) とおく。
この点と点 (6,3)の距離
をすると
12=(x-6)2+(x2-3) 2
=x²-5x²-12x+45
10であるから
が
最小のときは最小とな
る。
x
(プップ
0
f' (x)
f(x)
y=x2
261014
f(x)=x-5x2-12x+45 とすると
f'(x)=4x3-10x-12=2(x-2)(2x2+4x+3
/2x2+4x+3=2(x+1)² +1>0であるから.
7(²*
f'(x) = 0 となるのはx=2のときである。
f(x) の増減表は次のようになる。
(6.3)
2
20 +
極小 1
スニー付 ス
07
よって, f(x)はx=2で最小となり, その最小
値は
f (2) =2-5.22-12・2+45=17
lに
したがって, 点 (6, 3) から最短距離にある点の
つける座標は (2,4),その最短距離は √17

最大、最小 微分 数2

Answer 1

ミッキー様

f‘(x)=0となるxの値を求める時、今回は
2(x-2)(2x²+4x+3)=0です。
ここで、x=2は明らかですね。

次に2x²+4x+3=0を考えます。この方程式が実数解を持てば、f’(x)=0となるxの値が、2の他にあることになります。そこで、実数解を持つかどうか確認をするために、平方完成しています。

今回、平方完成すると(-1,1)を頂点とする下に凸の放物線となり、x軸と共有点を持たないことがわかります。x軸と共有点を持たないということは実数解をもたないということなので、2x²+4x+3=0となる実数xはありません。よってf‘(x)=0となる値はx=2のみとなります。

実際に入試問題で解答を作るとしたら、ここまで細かく述べる必要はあまりないと思います。
(f’(x)=0となるxの値はx=2)←これさえも書かなくてもいい気がします。
増減表だけでも話は通じると思います。

てぃあ

ありがとうございます
？を書いた行のところの　＞0 は何を表してますか？
判別式ではないですよね。

ミッキー様

実数解を持つかどうかの判断はいろいろな方法でできるんですよね。
判別式で考えるなら、2x²+4x+3=０の判別式をDして、D=16-4×2×3<0となることからもわかります。
今回の＞０の部分については、頂点の座標で考えています。今回は下に凸の放物線なので、頂点のy座標が正であるということが言えれば、それはx軸と共有点を持たないことになります。
>０の部分は頂点のy座標が正であることを表しています。
返信遅くなってしまって申し訳ないです、、。

てぃあ

理解できました！ありがとうございます✨