Question

ななみ

117の（2）を教えてください🙇‍♀️
範囲は高校一年の集合と命題の証明のところです。

*117 (1) nは整数とする。 次の命題を証明せよ。
n
n² が3の倍数ならば, nは3の倍数である。
(2) 背理法を利用して, 3 が無理数であることを証明せよ。

Answer 1

exod

‪√3が有理数であると仮定する。
互いに素である自然数a,bをもちいて
‪√‬3=b/a
と表せる。

b=‪√‬3a
b^2=3a^2･･･①

b^2は3の倍数なので、bも3の倍数である。
b=3k (kは整数)

これを①に代入して、
9k^2=3a^2
3k^2=a^2

よってaも3の倍数になるが、これはa,bが互いに素であることに矛盾する。

したがって、‪√‬3は無理数である。

ななみ

ありがとうございます！

Answer 2

東方LOVEな男子校の囚人（Acne兄）

√3が有理数であると仮定する。
√3=a/b a,bは互いに素である自然数
√3b=a
3b^2=a^2
左辺が３の倍数なので右辺も３の倍数
a=3cとおく
3b^2=9a^2
これはa,bが互いに素である自然数と矛盾する。
よって√3は無理数

ななみ

ありがとうございます！