Question

jpgamw

線を引いたところまでは分かりました。
なぜa^2+2a+4が0より大きいことを示さないといけないのですか？
また○をつけたところは、どうやって出しましたか？
2つよろしくお願いします。

例題 69 実数解の個数
aを正の定数とする。 方程式x-3ax²+32=0 の異なる実数解の個数を求
めよ。
考え方 y=x²-3ax2+32のグラフと, x軸 (直線y=0) との共有点の個数を調べる。
解 x-3ax2+32=0 ••••••①
この方程式の異なる実数解の個数は, y=x-3ax²+32のグラフとx軸との共
有点の個数に等しい。
ここで, f(x)=x-3ax2+32 とおくと,
f'(x)=3x²-6ax=3x(x-2a)
f'(x)=0 とすると, x=0, 2a
a>0 より, 0 <2α であるから, f(x) の増減表は次のようになる。
f(2a) = -4a+32=-4(a−2)(a²+2a+4)
0
であり、a²+2a+4=(a+1)^+3>0 より,
+ 0
32
方程式 ① の異なる実数解の個数は,
(i) f(2a) > 0, すなわち,
0<a<2のとき,
1個
(ii) f(2a) = 0, すなわち,
a=2のとき, 2個
(i) f(2a) <0, すなわち,
a>2のとき, 3個
(i)
3243
2a
x
f'(x)
f(x)
......
2a
0
+
f(2a) >
N. N.

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

希

つ目の質問から答えます。
下の3つのグラフや増減表を見たら分かる通り、f(2a)の値が極小値になります。f(2a)の値が負の時、
異なる実数解が3つであることが分かります。すなわち、-4(a-2)(a²+2a+4)が負のとき3個となります。
-4(a-2)(a²+2a+4)<0を解くと、a>2が導けます。他の1個や2個のときも同様にしてaの範囲が出せます。
要するに実数解の個数からaの範囲を求めるという手順になります。

1つ目の質問に答えます。
上の説明の中で-4(a-2)(a²+2a+4)<0を解くと説明しましたが、この時に平方完成が必要となります。
a²+2a+4>0が成り立つことを示れば、両辺をa²+2a+4で割ることができ、-4(a-2)<0と同じになります。これを解くと、a>2が出せます。

jpgamw

回答ありがとうございます。
風邪を引き休んでいた分自力で勉強しているので、沢山質問投稿しているのに関わらず今日いろんな問題教えていただけてとても助かっています🙇

今添付した写真のようで合ってますか？
すみません。
教えていただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。

希

写真のような計算で合っています。

風邪は仕方ないですから遠慮なく質問していいと思いますよ。頑張ってください。

jpgamw

返信ありがとうございます。
理解出きスッキリしました☀️

風邪は仕方ないですから遠慮なく質問していいと思いますよ。頑張ってください。
→ありがとうございます🙇
答えていただけて助かっています。
頑張ります！