Question

a

数1の問題です。2つとも解説を見ても理解できませんでした。お願いします

7 α, 6,c を相異なる実数とする。このとき、 次の問いに答えよ。
a²b-ab³ + b³c-bc³ + c³a-ca³ ±±£.
Ba
V (a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)+(c-a)(c-b) を計算せよ。

Answer 1

高橋

(1)
aについて整理すると、
(b-c)a³+(c³-b³)a+(b³c-bc³)
第2項：(c³-b³)a = -(b³-c³)a = -(b-c)(b²+bc+c²)a
第3項：b³c-bc³ = bc(b²-c²) = bc(b+c)(b-c)
よって、与式は
(b-c)a³-(b-c)(b²+bc+c²)a+bc(b+c)(b-c) = (b-c){a³-(b²+bc+c²)a+bc(b+c)}
-----------------------------------------------------------------------------------
{}内を展開し、bについて整理すると、
a³-(b²+bc+c²)a+bc(b+c) = a³-ab²-abc-ac²+b²c+bc² = (c-a)b²+(c²-ac)b+(a³-ac²) …①
第2項：(c²-ac)b = (c-a)bc
第3項：a³-ac² = a(a²-c²) = a(a+c)(a-c) = -a(a+c)(c-a)
よって、①は
(c-a)b²+(c-a)bc-a(a+c)(c-a) = (c-a){b²+bc-a(a+c)}
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{}内をcについて整理すると、
b²+bc-a(a+c) = b²+bc-a²-ac = (b-a)c+b²-a² = (b-a)c+(b+a)(b-a) = (b-a)(c+b+a)
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以上より、与式は
(b-c)(c-a)(b-a)(c+b+a) = (a-b)(a-c)(b-c)(a+b+c)

(2)
通分して分母を(a-b)(a-c)(b-c)にそろえる。
第1項：a³/(a-b)(a-c) = a³(b-c)/(a-b)(a-c)(b-c) = (a³b-a³c)/(a-b)(a-c)(b-c)
第2項：b³/(b-c)(b-a) = -b³/(a-b)(b-c) = -b³(a-c)/(a-b)(a-c)(b-c) = (-ab³+b³c)/(a-b)(a-c)(b-c)
第3項：c³/(c-a)(c-b) = c³/(a-c)(b-c) = c³(a-b)/(a-b)(a-c)(b-c) = (ac³-bc³)/(a-b)(a-c)(b-c)
よって、与式は
(a³b-a³c-ab³+b³c+ac³-bc³)/(a-b)(a-c)(b-c)
分子を整理すると、
a³b-a³c-ab³+b³c+ac³-bc³ = a³b-ab³+b³c-bc³+c³a-ca³ = (a-b)(a-c)(b-c)(a+b+c) ※①より
したがって、与式は
(a-b)(a-c)(b-c)(a+b+c)/(a-b)(a-c)(b-c) = a+b+c

高橋

訂正

※①より　⇒　※(1)より