Question

かめ

数II
整式 P(x)を(x-1)²で割ると余りが4x-5, x+2で割ると余りが -4である。このとき，P(x)を(x-1)²(x+2)で割ったときの余りを求めよ。

この問題の解き方を教えてほしいです。答えは　x²+2x-4　です。お願いします🙇🏻‍♀️

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ピヨピヨ

P(x)を3次式(x-1)²(x+2)で割った余りは、高々2次式 になるので、余りはax²+bx+cとおくことができま す。

P(x)を (x-1)²(x+2) で割った商をQ(x)とすると、
P(x)=(x-1)²(x+2)Q(x)+ax²+bx+c
となります。

P(x)を (x-1)²で割ると余りが4x-5になるという条件が ありますが、
(x-1)²(x+2)Q(x) は (x-1)²で割り切れるので、 ax²+bx+cを(x-1)²で割った余りが4x-5になります。
ax²+bx+cを (x-1)²で割ると、商はaとなるので、 ax²+bx+c=a(x-1)²+4x-5となります。

よって、
P(x)=(x-1)²(x+2)Q(x)+a(x-1)²+4x-5…①
とおけることになります。

P(x)をx+2で割ると余りが-4となることから、
①にx=-2を代入して、
P(-2)=9a-8-5=-4より、a=1
これを①に代入すると、
余りは∴(x-1)²+4x-5=x²+2x-4