Question

jpgamw

解答に黄色のラインを引いたところが分かりません。
1本目⇒なぜ0<x<π/2としていいのですか？
2本目⇒なぜ成り立つのですか？
3つ目4つ目⇒問題文の式の分母がx-tanxなので()の中、大小関係は逆ではないですか？
多くなってしまいすみません🙇
教えて下さい。よろしくお願いします！

極限を求めよ。
(2) 平均値の定理を用いて, lim
ex-etanx
x+0 x-tan x
7
の

(2)x+0 であるから,0<x<としてよい。
4
このとき,x<tanx が成り立つ。
関数 f(t) =e' はすべての実数で微分可能で
あり、f'(1)=e', 区間 x, tanx] において平
均値の定理を用いると
ex-etanx
x-tant
=e', x<c<tanx
を満たす実数 c が存在する。
lim x = 0, lim tanx=0であるから
x+0
lim c=0
x+0
x+0
ex-e
tanx
よって
lim
x→+0 x-tan x
lime=e=1
0+1x

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

xを正の方から0に近づけるときの話だから、
xは0に近い正の値です
よって、xは0とπ/2の間にあると考えてもよいわけです
なぜπ/2にしたかは、このあとの不等式を示すためです

0<x<π/2でx<tanxなのは、教科書などの
「θ→0のとき(sinθ)/θ→1」の証明に出てくるので
参照してください

分母がx-tanxだから、というのは何の関係もありません
そこからはxとtanxのどちらが大きいかは不明です
そのために上のx<tanxの話をしています
x<tanxなので、xの方が小さく、
[x, tanx]などの表現には何の問題もありません

jpgamw

回答ありがとうございます。
返信遅くなってしまいすみません🙇
沢山聞いたにも関わらず全て教えてくださりとても助かりました。
この問題は全て理解出来ました☀️
証明見てみます！！
ありがとうございました。