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(1)4n³-nは3の倍数であることを数学的帰納法を用いて証明する。
(ⅰ)n=1のとき、
4n³-n=4-1=3
よってn=1のとき4n³-nは3の倍数
(ⅱ)n=k(kは自然数)のとき4n³-nは3の倍数であると仮定する、つまり4k³-k=3m(mは整数)と仮定すると、n=k+1のとき、4n³-nは3の倍数であることを証明する。
n=k+1のとき、4n³-n=4(k+1)³-(k+1)= 4k³-k+4(3k²+3k)+3=3(m+4k²+4k+1)
よってn=k+1のとき4n³-nは3の倍数である。
以上(ⅰ)(ⅱ)より全ての自然数nについて4n³-nは3の倍数となる。
(2)全ての自然数は整数kを用いて、3k、3k-1、3k+1のいずれかで表せる。
nがの場合において4n³-nは3の倍数であることを証明する
(ⅰ)n=3kのとき
4n³-n=3(36k³-k)
36k³-kは整数なので4n³-nは3の倍数
(ⅱ)n=3k-1のとき
4n³-n= 4(27k³-27k²+9k-1)-(3k-1)=3(36k³-36k+11k-1)
36k³-36k+11k-1は整数なので4n³-nは3の倍数
(ⅲ)n=3k+1のとき
4n³-n=3(36k³+36k+11k+1)
36k³+36k+11k+1は整数なので4n³-nは3の倍数
以上(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)より全ての自然数nについて4n³-nは3の倍数となる。
誤字訂正:(2)3行目:nがの→nがそれぞれの