Question

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この問題ってどのように解けばいいんですか？💦

練習 tを媒介変数とする。 次の式で表された曲線はどのような図形を表すか
② 168
2 (1+t2)
6t
(1)x=
y=
1-t²
1-12
(2)xsint=sint+1, ysin't=sin*t+1
p.641 EX112, 113

2(1)
練名 (2))
x=
イーゼ
2(ナビ)
4-ct=
9=6x
22
K
(1)
32
い
64
Trct=
t₁ =
(+C
y
3人
と
-1
1-(4-1)=2(12-1)*
12/11=(2+6-2)x/2
6
y
-
4
=
-3x=6
82
7

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

x/2＝(1+t²)/(1-t²)、y/3＝2t/(1-t²)

(x/2)²-(ｙ/3)²を計算すると、
＝(1+t²)²/(1-t²)²-(2t)²/(1-t²)²
＝{(1+t²)²-(2t)²}/(1-t²)²
＝(1+2t²+t⁴-4t²)/(1－t²)²
＝(1-2t²+t⁴)/(1-t²)²
＝(1-t²)²/(1-t²)²
＝1

よって、(x/2)²-(ｙ/3)²＝1より
x²/4-y²/9＝1
の双曲線になる

x=2(1+t²)/(1-t²)　より、
→　(1-t²)x＝2(1+t²)
→　x-t²x=2+2t²
→　x-2＝(x+2)t²
x≠-2だから、x²/4-y²/9＝1にx＝2を代入してy＝0
この点は除かなければならないので、曲線は
x²/4-y²/9＝1　ただし(-2,0)を除く

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わかりやすくありがとうございます😭助かりました！

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後から申し訳ないんですけど、一行目のy式って、自分で考えてつくらないといけないんですよね？
コツってありますか？💦

きらうる

媒介変数の問題では、分母が1+t²となっている場合は円か楕円、1-t²となっている場合は双曲線を表す場合が多いです。

そしてこのような場合、x²とy²を作って、分子が分母と同じ式になるようにできれば楽に求めることができます。ただ、できない場合もありますので、万能ではないことに注意してください。

例えば、x＝1/(1+t²)、y＝t/(1+t²)　で表される曲線を求めるとき

両方2乗して、
x²＝1/(1+t²)²、y²＝t²/(1+t²)²
x²+y²
＝1/(1+t²)²+t²/(1+t²)²
＝(1+t²)/(1+t²)²
＝1/(1+t²)
＝x
よって、x²+y²＝xという式から、
(x-1/2)²+y²＝1/4　の円の方程式が出来上がります。

この方法を使わないと解けないわけではないので、別解として扱ってもらえればいいかと思います。

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(1)の本解を載せておきます。

x=2(1+t²)/(1-t²)　から
→　x-xt²＝2+2t²
→　(x+2)t²＝x-2
→　t²＝(x-2)/(x+2)…①

yの方に代入して、
y＝6t/{1-(x-2)/(x+2)}
→　y＝6t(x+2)/{(x+2)-(x-2)}
→　y＝3t(x+2)/2
→　2y＝3t(x+2)
→　t＝2y/3(x+2)

①に代入して
(2y)²/3²(x+2)²＝(x-2)/(x+2)
→　4y²/9＝(x-2)(x+2)
→　4y²＝9x²-36
→　9x²-4y²＝36
→　x²/4-y²/9＝1　(-2,0)は除く

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ありがとうございます😭助かりました！