Question

ゲストゴルバチョフさん

・例題63の（I）ではaの中央値を使って場合分けしてるのに対して、PRACTICE63の（I）ではaの中央値を使わずに場合分けしている理由がわかりません。
・同様に例題63の（2）はaの中央値を使わずに場合分けしているのに対して、PRACTICE63の（2）ではaの中央値を使って場合分けしている理由がわかりません。
・何度考えてもわからなかったので教えてもらえると
うれしいです。

「水の
2
基本 例題 63
(1) 最大値を求めよ。
は正の定数とする。 x における関数 f(x)=x2-4x+5
(2.1)
定義域の一端が動く場合の関数の最大・最小
000
(2) 最小値を求めよ。
について
(1)定義域 0≦x≦aの中央の値はである。
[1]
p.107 基本事項 2
[1] 0<<2 すなわち 0<a<4
のとき
最大
図 [1] から, x=0で最大となる。
最大値は f(0)=5
CHART & SOLUTION
定義域の一端が動く場合の2次関数の最大・最小
軸と定義域の位置関係で場合分け
定義域が0≦x≦a である
から文字αの値が増加する
と定義域の右端が動いて,x
の変域が広がっていく。
したがって,αの値によって,
最大値と最小値をとるxの
x=0x=a
値が変わるので場合分けが必要となる。
x=0
x=a
x=2
軸
軸
区間の
右端が
動く
区間の
右端が
動く
[2]11/12 すなわち a=4 のとき
図 [2] から, x=0, 4 で最大となる。
最大値は
f(0)=f(4)=5
[2]
最大
最大
x=0
x=a
x=0
(1) y=f(x) のグラフは下に凸の放物線であるから,軸からの距離が遠いほどの値は
きい (p.110 INFORMATION 参照)。
よって、定義域 0≦x≦αの両端から軸までの距離が等しくなる(軸が定義域の中央に、
致する)ようなαの値が場合分けの境目となる。
[1] 軸が定義域の
中央より右
[3] 軸が定義域の
定義域の両
[2] 軸が定義域の
中央に一致
軸
端から軸ま
での距離が
等しいとき
中央より左
「軸」
最大
1
最大
最大
最大
定義域
定義域
の中央
の中央
定義域
の中央
_2) y=f(x) のグラフは下に凸の放物線であるから,軸が定義域 0≦x≦α に含まれてい
れば頂点で最小となる。 よって、軸が定義域 0≦x≦a に含まれるか含まれないかで場合
分けをする。
[4]
[5]
軸が定義域
軸が定義域
の外
の内
最小
最小
答
■)=x2-4x+5=(x-2)2+1
基本形に変形。
関数のグラフは下に凸の放物線で, 軸は直線x=2である。
x=0
x=4
[3] 21 すなわち 4<a のとき
図 [3] から, x=α で最大となる。
最大値は f(a)=a2-4a+5
[3]
最大
[1]~[3]から
113
[1]軸が定義域の中央
x=1/23より右にあるか
5.x=0 の方が軸より
遠い。
よってf(0)>f(a)
[2]軸が定義域の中央
x=1/2に一致するから、
軸とx=0,α(=4) との
距離が等しい。
よってf(0)=f(a)
最大値をとるxの値が
2つあるので, その2つ
の値を答える。
[3]軸が定義域の中央
x = 1/2 より左にあるか
ら、x=αの方が軸より
遠い。
よってf(0) <f(a)
◆答えを最後にまとめて
0<a< 4 のとき x=0 で最大値 5
a=4 のとき x = 0, 4 で最大値5
α>4 のとき
x=αで最大値α-4a+5
x=0
x=a
x=2x=1/2
(2) 軸 x=2 が定義域 0≦x≦a に含まれるかどうかを考える。
|軸
[4]軸が定義域の右外にあ
るから、軸に近い定義域
の右端で最小となる。
[4] 0<a<2 のとき
[4]
図 [4] から, x=αで最小となる。
最小値は f(a)=α-4a+5
[5] 2≦a のとき
･最小
[5] 軸が定義域内にあるか
x=a
図 [5] から, x=2で最小となる。
最小値は
ら、頂点で最小となる。
x=0
x=2
f(2)=1
[5]
[4],[5] から
0<a<2 のとき
x=αで最小値 α-4a+5
答えを最後にまとめて
。
最小
a≧2 のとき x=2で最小値1
x=0x=21 x=a
PRACTICE 63
③
αは正の定数とする。 0≦x≦a における関数f(x)=-x+6x について
(2) 最小値を求めよ。
(1) 最大値を求めよ。
3
8

PRαは正の定数とする。 0≦x≦a における関数 (x)=-
③63
(1) 最大値を求めよ。
f(x)=-x2+6x=-(x-3)2+9さ
(2) 最小値を求めよ。
f
←本冊の基本例題 63
この関数のグラフは上に凸の放物線で, 軸は直線x=3である。 グラフは下に凸である
(1) 軸 x=3 が定義域 0≦x≦a に含 [1] x=0x=a
まれるかどうかを考える。
[1] 0 <a<3 のとき
図 [1] から, x=αで最大となる。
f(a)=-α+6a
最大値は
最大
軸
x=3
この問題は上に凸のグ
フであることに注意。
[1] 軸が定義域の右外
あるから, 軸に近い定
域の右端で最大となる。

[2] 3≦a のとき
[2] x=0
x=a
[2] 軸が定義域内にある
から頂点で最大となる。
図 [2] から, x=3 で最大となる。
最大値は
f(3)=9
[1] [2] から
最大
0<a<3 のとき
x=αで最大値-a2+6a
x=3
3
a≧3のとき
x=3 で最大値 9
(2) 定義域 0≦x≦a の中央の値は
である。
a
[3] x=0x=1/2
x=a
2
E
[3] 0<<3 すなわち 0<a<6
のとき
[3] 軸が定義域の中央
x=1より右にあるか
ら, x=0 の方が軸より
遠い。
よってf(0)f(a)
最小
図 [3] から, x=0 で最小となる。
最小値は f(0)=0
軸
x=3
[4] 1/2=3 すなわち a=6 のとき
図 [4] から, x= 0, 6で最小となる。
最小値は f(0)=f(6)=0
[4] x=0
x=6
[4] 軸が定義域の中央
x=1 に一致するから,
軸とx=0,α(=6) との
距離が等しい。
[5] 3< すなわち 6<a のとき
最小
よってf(0)=f(a)
図 [5] から, x=αで最小となる。
最小値は
f(a)=-α+6α
[3]~[5] から
[5]
x=0
x=
x=a
[5] 軸が定義域の中央
0 <α <6 のとき
1
x=
より左にあるか
x=0
で最小値0
ら、x=α の方が軸から
α=6 のとき
遠い。
x=0, 6 で最小値 0
よってf(0)>f(a)
最小
a6のとき
x=3
x=a
で最小値 -α+6a
いて
3章
PR

二次関数場合分け

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Ｙ

f(x)の変域が制限されていないため、下に凸のグラフになってる場合の最大値はxの変域(aの値)次第でどこまでも大きくなってしまうので「じゃあ変域がグラフの軸と比べてどっちにはみ出てるのか」という議論をするために、変域の中央値とグラフの軸を比較しているのだと思います。しかし、最小値の場合は「グラフの頂点が含まれればそこが最小値で含まれなかったら頂点に近い方の変域の端だよね」という考えのもと、グラフの軸は定義域に入っているのかという議論をしているのだと思います。また、上に凸のグラフになったときは反対の考え方になります。
だから、質問の答えを端的にいうとすればグラフの凸になっている方向が違うからだと思います。
他人に説明できるほど咀嚼しきれてないかもしれませんが参考になれば幸いです。

ゲストゴルバチョフさん

丁寧な回答ありがとうございます。参考になりました。しかし完璧に理解できそうにないです。最終手段として暗記で覚えることはいいと思いますか？それなら解けるので。

Ｙ

数学においても答えを導く方法を頭に入れておくことは必要なので暗記でいいと思います。覚えなくてもいくつか類題を解くうちに勝手に頭に入ると思います。
勉強頑張ってください🔥

ゲストゴルバチョフさん

遅くにありがとうございました。場合分けでつまずいていましたが、ようやく先に進めます。お互い勉強頑張りましょう！